Estudo sobre Medidas em Geometria Espacial para o Ensino Médio [Saiba Mais]

Tipo de documento:Relatório

Área de estudo:Gastronomia

Documento 1

Atividade 02 - Intuição sobre volume da esfera. Atividade 03 - Planificações do cilindro e do cubo. Atividade 04 - Princípio de Cavalieri. Atividade 05 - Reflexões sobre perímetros e áreas de triângulos. Atividade 06 - Volume da pirâmide. Atividade 07 – Volume da esfera. Nota - Todas as referências de páginas referem-se as páginas do livro aberto sobre Medidas em Geometria Espacial. Disponível aqui. Atividade 01 - Volume do paralelepípedo retângulo de arestas racionais (p. Observe a Figura 1 a seguir: Figura 1- Representação do cubo unitário e do paralelepípedo retângulo Fonte: Página do Livro Aberto1 Para todos os problemas abaixo, o cubo de aresta 1 será considerado como unidade e será chamado de cubo unitário. Parte 1 a) Seguindo o modelo da figura acima, desenhe um paralelepípedo retângulo cujas arestas sejam a=2, b=3 e c=4 e outro cujas arestas sejam a=2, b=4 e c=3. Solução De acordo com a afirmação (p. Fixados três números reais positivos a, b e c. O volume de um paralelepípedo retângulo de arestas a, b e c é dado pelo produto abc. ° caso: Seja a=2, b=3 e c=4, assim teremos V(2,3,4) = 2x3x4 = 24. Assim, o paralelepípedo retângulo terá 24 cubos unitários. Veja a Figura 2. Disponível em: <https://drive. google. com/open?id=1iDd4o9EeYQNo37uT6tnjVd6VgCr1cii4>. Acesso em: 10 out. Figura 2 – Representação 1 de um paralelepípedo com 24 unidades Fonte: Página do Geogebra2 2° caso: Seja a=2, b=4 e c=3, assim teremos V(2,4,3) = 2x3x4 = 24.

Da mesma forma, o paralelepípedo retângulo terá 24 cubos unitários. Veja a Figura 3. Figura 3 – Representação 2 de um paralelepípedo com 24 unidades Fonte: Página do Geogebra2 b) Obtenha uma relação entre os volumes V(2,3,4) e V(2,4,3) Solução Seja a1, b1 e c1 a largura, o comprimento e a profundidade do paralelepípedo retângulo do 1º caso e a2, b2 e c2 a largura, o comprimento e a profundidade do paralelepípedo retângulo do 2º caso. org/m/yk8bqdvz>. Acesso em: 10 out. Solução Buscamos um paralelepípedo retângulo que tenha o volume V(2,4,9) = 2 x 4 x 9 = 72 cubos unitários, em que a, b ou c seja diferente de 2, 4 ou 9. Observe que da relação 2 x 4 x 9, temos 2 x 4 = 8, assim 8 x 9 = 2 x 4 x 9. Veja agora que 3 x 3 = 9, temos então 8 x 9 = 8 x 3 x 3 = 2 x 4 x 9 = 72.

org/m/yqmfwfb6>. Acesso em: 10 out. b) Encontre todos os valores inteiros para n1, n2 e n3 de modo que V(n1x,n2y,n3z) = 144. Solução Sabemos que V(x, y, z) = 12. Então, V(n1x,n2y,n3z) = 144 => n1 x n2 x n3 x 12 = 144 => n1 x n2 x n3 = 144 12 => n1 x n2 x n3 = 12. Sendo a, b e c números naturais, temos V(a,b,c) = V(a1,b1,c1) = abcV(1,1,1) = 1xabc = abc Parte 3 Caso a, b e c sejam números racionais. a) Calcule os volumes a seguir. Explique as suas soluções. Solução Para cada item na forma V(a,b,c), basta fazer a operação a x b x c para encontrar o volume. i. V(1, 5, 3) = 1 x 5 x 3 = 15 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 1 4 2 8 iv.

V(2, 2, 2) = 2 x 2 x 2 = 8 v. V(2, 3, 5) = 2 x 3 x 5 = 30 𝑝 𝑚 𝑝𝑚 𝑞 𝑛 𝑞𝑛 d) Explique por que a igualdade V(1, , ) = é verdadeira para quaisquer números naturais p, q, m e n. Solução 𝑚 𝑚 𝑝 𝑚 Demonstramos no item b desse exercício que V(1,1, 𝑛 ) = 𝑛. Portanto, V(1, 𝑞, 𝑛 ) = 𝑚 x 𝑛 V(1,1,1) = 𝑝𝑚 𝑞𝑛 V(1,1,1) = 𝑝 𝑞 𝑝𝑚 𝑞𝑛 𝑟 𝑝 𝑚 d) Justifique a igualdade V( 𝑠 , 𝑞, 𝑛 ) = 𝑟𝑝𝑚 𝑠𝑞𝑛 para quaisquer r, s, p, q, m e n naturais. Figura 10 - Representação da esfera e cone dentro do cilindro Fonte: Autores, 2019 e) Partindo da fórmula do volume do cilindro e do cone, calcule o volume da semiesfera. Ela coincide com a fórmula dada na literatura? Solução O volume do cilindro é dado por 𝜋𝑟 2 ℎ e o volume do cone é dado por 𝜋𝑟 2 ℎ 3. Observe a Figura 9, veja que o espaço ocupado pela quantidade de arroz pode ser expresso como uma subtração entre o volume do cilindro e o volume do cone.

Em símbolos, temos 𝑉𝑠𝑒𝑚𝑖−𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝜋𝑟 2 ℎ - 𝜋𝑟 2 ℎ 3 = 3𝜋𝑟 2 ℎ−𝜋𝑟 2 ℎ 3 = 2𝜋𝑟 2 ℎ 3 De acordo com a literatura o volume da semi-esfera é realmente dado por essa expressão. Atividade 03 - Planificações do cilindro e do cubo (p. Solução Ao observar e aplicar o problema para figuras planas no primeiro aplicativo (https://www. geogebra. org/m/bxrxatwv), percebe-se que a reta r preenche as duas figuras 4 Disponível em: <https://drive. google. com/open?id=1iDd4o9EeYQNo37uT6tnjVd6VgCr1cii4>. Assim, a descrição no item a está coerente. Atividade 05 - Reflexões sobre perímetros e áreas de triângulos (p. Parte 1 Na Figura 14, as retas r e s são paralelas e os segmentos BC e B′C′ são congruentes. Figura 14 - Triângulos ABC e A'B'C' Fonte: Página do Livro Aberto4 a) Qual dos triângulos têm a maior área, ABC ou A′B′C′? Explique a sua resposta.

Solução Dada as condições do problema, a distância da reta s aos pontos A e A’ é a mesma já que A ∈ r e A’ ∈ r. Além disso, BC=B’C’. Assim, a área de ABC = A’B’C’. Sendo r//t//s, temos que h é a altura dos triângulos AXY e A’X’Y’. Daí, temos que a área de AXY e A’X’Y’ são iguais, logo independente da altura h, XY e X’Y’ são congruentes. Veja um exemplo na Figura 17. Foi traçado um plano paralelo ao plano ABC a uma distância h do ponto V intersectando o tetraedro no triângulo XYZ como na figura. Figura 18 - Representação do tetraedro VABC Fonte: Página do Livro Aberto4 a) Explique por que o triângulo XYZ é semelhante ao triângulo ABC com razão de semelhança h/H.

Solução ℎ Vimos no item c da atividade 5 que a razão entre Área(AXY) e a Área(ABC) é igual a Υ. 𝐻), isso implica que os triângulos AXY e ABC são semelhantes. Agora, observe no tetraedro os triângulos VBA e VYX, veja que XY//AB, pois os planos que os contêm são paralelos. Agora vamos calcular a área do triângulo XYZ. Vimos no item a que os triângulos VYX e VBA são ℎ semelhantes com razão de semelhança igual a 𝐻, assim como VXZ com VAC e VYZ com ℎ ℎ ℎ VBC. Portanto, AB = 𝐻. XY, BC = 𝐻. YZ e AC = 𝐻. ℎ => a2 = 11,25. Assim, Área(XYZ)= ℎ Á𝑟𝑒𝑎(𝑋𝑌𝑍) fim, Á𝑟𝑒𝑎(𝐴𝐵𝐶)= 45. Por. Parte 2 Dois tetraedros com áreas iguais em suas bases e alturas iguais têm volume iguais. Os tetraedros da figura têm bases ABC e A′B′C′ de mesma área e possuem alturas iguais.

Portanto, temos Área(ABC) = Área(XYZ). ℎ 𝐻 ℎ e Área(A’B’C’) = Área(X’Y’Z’). Como Área(ABC) = Área (A’B’C’), temos Área(XYZ). 𝐻 ℎ 𝐻 = Área(X’Y’Z’). ℎ 𝐻 => Área(XYZ) = Área(X’Y’Z’). Acesso em: 15 out. b) Como você nomearia estes sólidos dados? Solução Cada sólido é formado por apenas triângulos distintos, exceto o tetraedro. Portanto, os sólidos dados podem ser chamados de pirâmides de base triangular. c) Explique por que os sólidos dados têm mesmo volume. Solução Consideremos uma pirâmide triangular com base ABC e vértice V e um prisma com as bases triangulares ABC e VB’C’ com a mesma altura da pirâmide. Acesso em: 15 out. Atividade 07 – Volume da esfera (p. A figura mostra um hemisfério de raio r (metade de uma bola) e um cilindro de raio e altura iguais a r de onde foi removido um cone de mesma base e altura que o cilindro (chamaremos este sólido de anticlépsidra).

Figura 24 - Semi-esfera e um cone dentro do cilindro Fonte: Página do Livro Aberto8 a) Descreva a figura formada na seção da bola por um plano que está a uma distância h do centro. Solução A figura é uma circunferência de raio x que está a uma distância h do centro da esfera b) Descreva a figura formada na seção da anticlépsidra por um plano que está a uma distância h do plano da base. maior menos a área do círculo menor. Assim, 𝜋𝑟 2 − 𝜋𝑦 2 => 𝜋(𝑟 2 − ℎ2 ). Portanto, as seções têm mesma área. Para saber mais, acesse este link. d) Explique por que o volume da esfera de raio r é 4/3π. IMPA, 2018. Disponível em:<https://drive. google. com/file/d/1iDd4o9EeYQNo37uT6tnjVd6VgCr1cii4/view>.

Acesso em: 10, 11 e 15 out. br/enem/matematica/cubo>. Acesso em: 10 out.

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