Geometria Analítica

x,y) Todo ponto do plano está associado a um par ordenado no qual o primeiro elemento é sua abscissa (x) e o segundo é sua ordenada (y); (x,y). y) (x,0) Os pontos em que: (x,y) é no 1º quadrante (-x,y) no 2º quadrante (-x,-y) no 3º quadrante (x,-y) no 4º quadrante Exercícios: 1) Marque os pares ordenados no plano cartesiano: A=(0,-3) B=(0,1) C=(1,2) D=(-1,2) E=(-2,1) F=(2,1) G=(2,0) H=(2,-1) I=(1,-2) J=(-3,-2) 2) De quais quadrantes os pontos do exercício anterior estão? 3) Obtenha os valores de a e b para que os pontos A(a² - 8, 1) e B(4, b – 4), sejam respectivamente, ao eixo das ordenadas e ao eixo das abscissas: 2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Um conceito básico de Geometria deve ser aproveitado na Geometria Analítica, a fim de estabelecer a distância entre dois pontos: “por dois pontos passa apenas uma reta”.

Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B. Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC, onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa. Então: Desenvolvendo, vem: Como: Então: OBS: Através da formula da condição de alinhamento, também podemos ter aqui a equação geral da reta: = 0 ya. x + xc. y + xa. yc - xc. ya - xa. EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA A equação paramétrica é , em que f e g são funções afins: 3x - 2y – 6 = 0 x=2t+4 => t = 3x = 2y + 6 y= t – 3 => y = -3 x = y +2 x - 2y – 10 = 0 x = 2( +1) Fazendo +1 = t => Exercícios: 10)Determine um par de equações paramétrica das retas: x+5y-3=0 e x-2y+7=0 11) Dada a equação paramétrica da reta, determine sua equação geral: 7.

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS 7. PARALELAS Para as retas serem paralelas, o coeficiente angular das retas, deve ser o mesmo. m = m. • Retas paralelas distintas: = e ≠ • Retas paralelas coincidentes = e = 7. Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P (x, y) pertencente à circunferência se, e somente se: d (Q, P) = r Dado pela fórmula: = r logo, (x – a)2 + (y – b)2 = r2  (equação reduzida da circunferência) Obs: Se o centro da circunferência estiver na origem, então a = b = 0, e sua equação será: x2 + y2 = r2 Exercícios 1) 1) Seja R=5 e centro C(1,2) determine a equação reduzida da circunferência: 2) Determine o centro e o raio da circunferência que tem como equação (x – 6)² + (y – 2)² = 16 3) Para que valor de k o ponto P(1,k) esta no primeiro quadrante e pertence a circunferência x² +y² = 25? 10.

EQUAÇÃO GERAL OU NORMAL Desenvolvendo a equação reduzida (x – a)2 + (y – b)2 = r2, vamos obter: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 - r2 = 0 , onde ao arrumarmos x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0 Obtemos sua equação geral ou nominal. Obs: A equação normal da circunferência também pode ser apresentada na seguinte forma: x2 + y2 + Ax – By + C = 0, onde Exercícios: 1) Represente a circunferência de centro C(-3,1) e raio r = 2 na forma da equação geral. Obtenha a equação normal da circunferência que tem centro na origem e um de seus pontos é P(0,3): 3) Qual é a equação normal da circunferência de centro C(4,1) e raio 5? 11. CENTRO E RAIO Dada à equação normal de uma circunferência , por exemplo: x² + y² + 6x – 10y + 18 = 0, podemos determinar o centro e o raio de de duas maneiras: por Comparação e por Redução • Por comparação: x² + y² + 6x – 10y + 18 = 0 x2 + y2 + Ax – By + C = 0 A = - 2a; logo -2a = 6 => a = -3 B = - 2b; logo -2b = - 10 => b = 5 C = a² + b² - R² = 18; logo (-3)² + (5)² - R² = 18 => R = 4 Centro C(a,b) = C(-3,5) e raio R = 4 • Por redução: Neste método devemos isolar os termos em x e em y e isolando o número independente, obtendo a forma reduzida da circunferência: x² + y² + 6x – 10y + 18 = 0 (x² + 6x) + (y² - 10y) = -18 Somamos então em ambos os membros da igualdade um mesmo termo, de modo que o agrupamento em x e depois em y se transforme num quadrado perfeito: ( ) + ( ) = (x + 3)² + (y – 5)² = 16 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Note que, se o coeficiente de x² é 1, o termo que deve ser somado a ambos os membros é o quadrado da metade do coeficiente de x ( Ex: 6x; logo = 3 assim 3² = 9) C(a , b) e R= r² C(-3, 5) e R = 4 Exercícios: 1) Dada a equação da circunferência x² + y² – 6x + 8y – 24 = 0, determine o centro e o raio da mesma: 2) Com o método de comparação obtenha o centro e o raio da circunferência x² + y² + 6y – 16 = 0 3) Aplicando o mesmo método anterior descubra o centro e o raio da circunferência 16x² + 16y² + 16x – 8y – 31 = 0 4) Com o método de redução obtenha o centro e o raio da circunferência x² + y² + 6y – 16 = 0 5) Aplicando o mesmo método anterior descubra o centro e o raio da circunferência 16x² + 16y² + 16x – 8y – 31 = 0 12.

REFERENCIAS: http://www. brasilescola. com/matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos. htm http://cead. ufpi. com/geometria-analitica/posicoes-relativas-de-duas-retas/ http://pt. slideshare. net/con_seguir/geometria-analitica-equacao-da-reta http://www. mundoeducacao. com/matematica/inclinacao-coeficiente-angular-uma-reta. br/extensao/teia/aulas/AulasModulo02-pdf/ApostilaVeraCarlos. PDF http://www. infoescola. com/geometria-analitica/equacoes-da-reta/ http://www. projetos. lume. ufrgs. br/bitstream/handle/10183/15880/000692687. pdf http://pt. wikibooks.