ESTUDO DA QUEDA DE CORPOS

Figura 2: Gráficos de (a) velocidade em função do tempo e (b) posição em função do tempo para um movimento retilíneo uniforme (Corradi, et al. Figura 3: (a) Gráficos de aceleração em função do tempo e (b) velocidade em função do tempo para um movimento com aceleração constante (Corradi, et al. Figura 4: Ilustração de um corpo em queda (Kilhian, 2010) 13 Figura 5: Influencia da área e formato sobre a Força de resistência do ar 14 Figura 6: Esquema de uma modelagem 17 Figura 7: Queda Livre 21 Figura 8: Queda libre 23 Figura 9: Ilustração de um corpo em queda (Kilhian, 2010) 27 Figura 10: Queda com Resistência do Ar 29 Figura 11: Forças atuando sobre um paraquedista durante a queda. Figura 12: Velocidade de queda em função do tempo. Lista de tabelas Tabela 1: Aceleração da gravidade: dependência com a altitude 11 Tabela 2.

Resistência do ar no movimento de queda de corpos 10 Capitulo 3 - Modelagem Matemática 13 Parte I: Modelagem matemática do movimento de um corpo em queda livre. Experimentação 16 3. Material, Ferramentas e Equipamentos Utilizados 16 3. Descrição de todo o procedimento utilizado para a coleta de dados 16 3. Abstração 19 3. Seja sua posição no instante de tempo , e sua posição em um dado instante de tempo posterior. Os gráficos de velocidade e posição em função do tempo para um movimento retilíneo uniforme são mostrados na Figura 2. Figura 1: Movimento de um auto em uma via retilínea com velocidade constante. a) (b) Figura 2: Gráficos de (a) velocidade em função do tempo e (b) posição em função do tempo para um movimento retilíneo uniforme (Corradi, et al.

Na figura 2a pode se identificar que a área sob a curva do gráfico é igual ao produto da velocidade pelo tempo. Queda Livre Quando um corpo está sujeito apenas à atração gravitacional, dizemos que ele está em queda livre. De acordo com a Lei de Gravitação Universal, proposta por Isaac Newton, a aceleração gravitacional () na superfície da Terra é dada pela equação 7. Eq. Onde, é o raio da Terra e é a massa da Terra, e z é a altura acima da superfície da Terra. Tabela 1: Aceleração da gravidade: dependência com a altitude Devido ao seu movimento de rotação, a Terra é achatada nos polos, assemelhando-se a um elipsóide de revolução,em que o raio equatorial a = 6,378x106 m é maior que o polar b = 6,357x106 m3.

Note-se que a velocidade no ponto mais alto da trajetória, da bola arremessada para cima, é nula. No entanto sua aceleração possui módulo constante e está dirigida para o centro da Terra. É um erro comum pensar que a aceleração é nula onde a velocidade for nula. Lembre-se de que a aceleração define a variação de velocidade em um dado intervalo de tempo e, de fato, a velocidade da bola varia: sua velocidade diminui enquanto ela sobe e aumenta enquanto ela desce. Sua aceleração, no entanto, é sempre a mesma. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima. Figura 4: Ilustração de um corpo em queda (Kilhian, 2010) Dependência da resistência do ar com outros fatores Assim, quanto menor a área frontal em contato com o ar, menor será a potência, ou em outras palavras, o esforço necessário para o deslocamento de um corpo em uma massa de ar.

Como mostrado na Figura 7, a forma de asa precisa de um menor esforço para se deslocar na corrente de ar quando comparada com uma esfera e um plano que, neste caso, teria a maior área frontal e por tanto, a maior resistência do ar e maior formação de redemoinhos. Figura 5: Influencia da área e formato sobre a Força de resistência do ar Na natureza podemos observar esse fenômeno em diversos exemplos de formatos aerodinâmicos que cortam a resistência do ar, por exemplo no formato das asas de aves, nas gotas de chuva ou o formato dos ovos, pois estes possuem formatos mais aerodinâmicos existentes, e incluso tem inspirado a criação de aviões e autos mais aerodinâmicos (Citroën desenvolve carro conceitual no formato de ovo).

Pode-se inferir então a explicação física do motivo pelo que o formato aerodinâmico que faz com que a frente de alguns veículos corta o ar e o faz escorregar de uma maneira mais eficiente, diminuindo sua resistência. Nessa fase procura-se estabelecer: a. Seleção das variáveis b. Problematização ou formulação aos problemas teóricos numa linguagem própria da área em que se está trabalhando. c. Formulação de hipóteses d. No esquema de modelagem mostrado na Figura 8, as setas contínuas indicam a primeira aproximação. A busca de uma modelo matemático que melhor descreva o problema estudado torna o processo dinâmico, indicado pelas setas pontilhadas. Figura 6: Esquema de uma modelagem A aplicação do modelo permitirá um estudo da situação de acordo com as variáveis selecionadas, permitindo, assim, o entendimento, a tomada de decisões, previsões, como por exemplo, em função do tempo, fornecendo “ferramentas” para criar estratégias de trabalho para determinar melhoras em diversas situações modeladas.

Isso nos leva a fazer suposições a fim de construir uma estrutura básica do sistema a ser modelado. Se tais suposições são consideradas suficientemente precisas, a consequência imediata disso são as equações que regem o sistema do fenômeno estudado em questão. Simultaneamente foi tomado o tempo com o cronometro e foi gravado um vídeo de cada experiência. Com o cronometro se realizo a medição do tempo de queda para cada objeto. Por meio do cronometro e a câmera de vídeo foi possível a coleta dos dados. Com ajuda das marcações no muro determinou-se a posição do objeto e o tempo em vários intervalos entre a posição inicial onde o objeto foi deixado cair e a posição final quando o objeto chegou no chão.

O experimento foi realizado cinco vezes para cada objeto e foi calculada a média aritmética dos valores. A força gravitacional é uma força de interação entre corpos que surge devido ao fato dos corpos possuírem massa, como indica a seguinte equação: Onde m é a massa do corpo e g é a aceleração em queda livre. Adotando a direção y como direção vertical e o sentido para baixo como sendo sentido positivo, a aceleração será positiva (g aponta sempre para o sentido positivo do eixo y) (b) Faça o diagrama das forças. O diagrama de forças mostra quais as forças vetoriais (vetores) que estão agindo no movimento. O referencial y deve estar no sentido do movimento do corpo.

b) Escreva os vetores nas bases canônicas (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Como o movimento de um móvel em relação a mesma referência apresenta uma aceleração constante e diferente de zero, define-se a aceleração média de um corpo como sendo a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo decorrido, representada pela equação 2. Eq 2 Onde é avariação de velocidade e a variação de tempo. Expandindo a definição anterior, realizando algumas manipulações matemáticas, chegamos à equação para a velocidade em relação ao tempo: Eq 3 Onde é a velocidade final, é a velocidade inicial, a é a aceleração e é o tempo. A equação 3 fornece a velocidade (t) de um corpo com aceleração a constante para qualquer instante de tempo , conhecidos sua velocidade inicial e o instante de tempo inicial Lembrando que segundo a consideração (c) no início do movimento (t = 0), tal que: Eq 4 Lembrando a consideração (b), observa-se na figura 3 do presente trabalho que a área sob a curva do gráfico a - t é igual ao produto da aceleração por tempo, que corresponde à variação da velocidade (v – v0) durante o intervalo de tempo t.

Então, a velocidade pode ser obtida do gráfico 3a, conhecida a velocidade inicial v0. Assim, podemos obter a posição y e a velocidade v de um corpo em queda livre, em qualquer instante de tempo t dadas a posição inicial , a velocidade inicial e a aceleração da gravidade local 3. Resolução Com base nas fórmulas (Formulação do modelo), calculamos os valores teóricos das posições e tempos de queda. Estes dados serão necessários para a validação do modelo. Por meio da equação: Podemos determinar a posição y de um corpo em queda livre, em qualquer instante de tempo t. Dada a velocidade inicial = 0 e a aceleração da gravidade temos que, independente do material, assumindo queda livre dos objetos: Posição (Altura) y (m) Tempo t (s) 5 0,000 4,5 0,319 4 0,452 3,5 0,553 3 0,639 2,5 0,714 2 0,782 1,5 0,845 1 0,904 0,5 0,958 0 1,010 3.

O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima. Figura 9: Ilustração de um corpo em queda (Kilhian, 2010) A força resultante será: Eq. Substituindo a Eq. na Eq. obtemos: Eq. Então, há duas forças atuando sobre o corpo: a primeira é a força da gravidade g, dada pelo peso p do corpo, que é igual a mg: A segunda força é devida à resistência do ar, dada por: é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima. Para velocidades compreendidas aproximadamente entre 86km/h e 1200km/h a intensidade da força de resistência do ar é fornecida pela expressão: Eq.

Força de resistência do ar v: Velocidade do corpo em relação ao ar k: Coeficiente que depende da densidade do ar, da forma do corpo (área frontal em contato com o ar) e da aerodinâmica do corpo. Para velocidades inferiores a 86km/h a intensidade de é dada pela expressão: Eq. Considerando o movimento de uma pedra lançada verticalmente para cima, se a resistência do ar é desprezada, a única força atuante sobre a pedra é a de atração da Terra dirigida para o seu centro. Isso significa que a aceleração possui a mesma direção da trajetória descrita pela pedra, mas possui sentido contrário ao deslocamento no movimento de subida e mesmo sentido no movimento de descida. Desse modo, durante a subida, a aceleração é contrária ao movimento, fazendo com que sua velocidade diminua até se anular em certo ponto (no ponto mais alto da trajetória).

A partir daí, no movimento de descida, a aceleração tem o mesmo sentido do movimento, fazendo com que sua velocidade aumente. Note-se que a velocidade no ponto mais alto da trajetória, da bola arremessada para cima, é nula. Quando ele abre o paraquedas, a área de contato com o ar aumenta, aumentando também a força de resistência do ar que fica maior que o peso. Como, agora, Fr >mg ele desacelera diminuindo Fr até que novamente eles se igualem e o paraquedista começa a cair novamente, com nova velocidade constante, menor que a anterior com o paraquedas fechado. Essa segunda velocidade limite que é a velocidade com que ele chega ao solo independente da altura vale aproximadamente 22km/h, é baixa o suficiente para que ele não sofra danos, quando treinado.

Figura 11: Forças atuando sobre um paraquedista durante a queda. A variação da velocidade dessa queda em função do tempo está representada na figura 12. Os mais conhecidos e utilizados são o ferro, cobre, estanho, chumbo, ouro e a prata estes dois últimos classificados como metais preciosos. É comum separar os metais em dois grandes grupos: os ferrosos (compostos por ferro) e os não-ferrosos (aonde o ferro está ausente). Um outro grupo é composto pelos metais pesados que são metais quimicamente altamente reativos e bioacumuláveis. Como exemplos: cobalto, cobre, manganês, molibdênio, vanádio, estrôncio, e zinco. A mistura de metais formam as ligas metálicas. Sua superfície externa é revestida com feltro, um tecido formado por nylon e lã amarela. Primeiro, dois pedaços de feltro são cortados e colados com uma massa branca.

Depois, a bola passa por nova vulcanização para melhor aderência do material à bola. No passo final, as bolas são embaladas em tubos de plástico hermeticamente selados, sob uma pressão aproximada de 2 atmosferas para evitar qualquer perda de pressão antes da chegada às quadras de tênis. Em torneios profissionais, uma bola não é usada por mais que 9 games. Observação: Para o cálculo da velocidade final, deverá ser utilizado o valor calculado da aceleração da gravidade (parte a)! O algoritmo apresentado neste trabalho permitirá o cálculo da aceleração da gravidade local. O problema consiste em determinar o tempo que dura a queda, a velocidade e aceleração final, dada uma altura inicial e um intervalo de tempo. Na seguinte figura é mostrada uma representação do algoritmo: Observação: A velocidade inicial do corpo deve ser igual a zero! Observação: Para o cálculo da velocidade final, deverá ser utilizado o valor calculado da aceleração da gravidade (parte a)! A primeira etapa na criação do algoritmo consiste na definição das constantes utilizadas e a inicialização das variáveis, para poderem ser referidas nas expressões.

Assim, vamos assumir que a queda começa no instante de tempo (t=0), a partir do repouso (v=0) e com resistência do ar desprezada pois trata-se de queda livre (k=0). Assim, as respetivas variáveis deverão ser inicializadas a zero. O algoritmo no programa Octave é apresentado a seguir: g = 9. x = input (" Qual a altura inicial (em metros) ? "); dt = input(" e o intervalo de tempo (em segundos) ? "); t = 0; v = 0; k = 0; a = - g – k * v; while (x > 0) t = t + dt; x = x + v * dt; v = v + a * dt; a = - g – k * v; endwhile; disp(" o tempo de queda (em segundos) foi de "); disp(t); disp(" e a velocidade final (em m/s) foi de "); disp(v); disp(" e a aceleração final (em m/s2) foi de "); disp(a); Capitulo 6 - CONCLUSÃO Considerando as forças que atuam sobre um corpo em queda, o movimento em queda livre distingue-se do movimento real no fato de que no movimento em queda livre não existe resistência do ar exercendo uma força adicional sobre o objeto que está caindo.

Assim, desprezando-se a resistência do ar, dois corpos com massa diferente, quando abandonados da mesma altura, chegam ao solo ao mesmo tempo. Mas, quando os corpos se movimentam num fluido (ar ou água), além do peso que é constante surge também uma força, contrária ao movimento, que chamamos de força de resistência (Fr), que depende da velocidade do corpo, de sua forma e da área de secção transversal em relação à direção do movimento nesse meio. Com a realização do experimento, comprovamos que a queda livre somente existirá em condições de vácuo. Apresentação de trabalhos escolares. Orientação para datilografia e digitação. Porto Alegre: Multilivro, 2000. Globo. Citroën desenvolve carro conceitual no formato de ovo. Araújo, S.

Nemes, M. C. Balzuweit, K. Fundamentos de Física I. Nogueira, K L. Lamounier, E. Jr. Cardoso, A. UPPER LIMB PROSTHESES TRAINNING USING AUGMENTED REALITY. Acesso em: 12 jun. Thums, J. Acesso à realidade: técnicas de pesquisa e construção do conhecimento. Porto Alegre: Sulina/Ulbra, 2000. feiradeciencias. uol. com. br/fisica/forca-resistencia-ar. htm http://fisicaevestibular. com.