A era do grafeno

Assim a teoria monodimensional (que é ideal e simplificadora), admite as seguintes hipóteses: 1. A bomba será considerada como tendo um número infinito de palhetas. As palhetas serão consideradas como sendo infinitamente delgadas, ou seja, sem espessura. A Figura (4. mostra dois cortes em uma bomba centrífuga, um corte radial A-B e o corte longitudinal C-D. Fazendo as simplificações possíveis a equação de Euler assume o aspecto apresentado em (4. H th  1 Vt 2  u2  Vt1  u1  g (4. onde: H th : é a quantidade de energia cedida a 1 kg de fluido que atravessa uma bomba ideal [m];  u1 - velocidade tangencial de um ponto situado na entrada do rotor  m s  ;  u2 - velocidade tangencial de um ponto situado na saída do rotor  m s  ;    Vt1 - projeção do vetor V1 sobre a velocidade da pá u1 , à entrada do rotor  m s  ;    Vt 2 - projeção do vetor V2 sobre a velocidade da pá u2 , à saída do rotor  m s .

Tal equação assume ainda características mais simples para o caso específico das bombas com fluxo radial a entrada. Realmente: Fluxo radial a entrada  1  90º ; 1  90º  cos 1  0  Vt1  V1  cos 1  0. Para que se aplique a Equação de Conservação do Momento Angular, entretanto, é  necessário conhecer a velocidade absoluta do escoamento, V , (em relação a um referencial inercial) em seu percurso através do rotor. Mas a velocidade relativa do escoamento é conhecida (em direção e sentido), em qualquer posição radial entre as arestas de entrada e saída do rotor. Também é conhecida a velocidade do rotor  (velocidade tangencial), u , em qualquer posição radial, desde que a velocidade angular  seja especificada, assim como as dimensões geométricas do rotor. movimento relativo da partícula de fluido aresta de saída aleta aresta de entrada  centro de giro do rotor Figura 4.

– Corte radial do rotor de uma bomba centrífuga. Assim, u1 , W1 , e V1 , são as velocidades na entrada do rotor (na entrada do V. C. para efeito de aplicação da Equação de Conservação do Momento Angular), e u2 , W2 , e V2 , são as velocidades na saída do rotor (na saída do V. C. Denomina-se  o ângulo entre a velocidade relativa e a direção tangencial, 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Com a definição das velocidades do escoamento, e os ângulos que elas formam, pode-se então formular uma equação para o torque da bomba, T, em função das variáveis operacionais e características de projeto do rotor da bomba. Neste momento convém frisar que esta abordagem se aplica às máquinas de fluxo de maneira em geral: bombas centrífugas, ventiladores e turbinas hidráulicas.

Particularidades da formulação serão destacadas assim que se apresentarem. de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil 97 Máquinas Termohidráulicas de Fluxo Assim, aplicando-se Equação da Conservação da Quantidade de Movimento Angular a um V. A Equação da Conservação da Massa é assim escrita: Q  2  r1  b1  Vr1  2  r2  b2 Vr 2 Assim, Vr 2  Q 2  r2  b2 (4. onde: Q = vazão de fluido que passa pelo rotor, em  m 3 s  ; Vr = velocidade radial (meridiana), em  m s  ; r = raio da seção considerada, em [m]; b = largura do rotor na seção considerada, em [m]. de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil 98 Máquinas Termohidráulicas de Fluxo   Vr  wr   V w     Vt wt  u Figura 4. – Triângulo de velocidades genérico. Quando ambos os reservatórios são abertos e sujeitos, portanto, à pressão atmosférica  pr  pa  patm  : H man  H o  H (4.

Normalmente as bombas centrífugas são as mais utilizadas nas instalações elevatórias de líquidos, principalmente de água. A Figura (4. mostra um esquema de uma instalação de bombeamento deste tipo, onde a bomba recalca um fluido, de um nível mais baixo 0-0 a um nível mais alto 3-3. de fevereiro de 2010 Alex N. Ou mais resumidamente: onde: Q = vazão volumétrica do fluido, em  m 3 s  ; Di = diâmetro interno das tubulações [m]; K ' = constante que depende do tipo de material, acabamento, velocidade de escoamento, acessórios, etc. K K' Di5 (4. Nota-se que a Eq. tem um acabamento parabólico com a vazão, se esquematizarmos um diagrama  H man , Q  incluindo esta perda de carga teremos aproximadamente a Fig. H H Ho Q Figura 4.

– Instalação típica com manômetro à saída da bomba e vacuômetro à entrada. Na Figura (4. seja y o desnível entre o manômetro (saída da bomba) e o vacuômetro (entrada da bomba) e sejam ainda: 1- índice referencial das grandezas relativas à entrada da bomba; 2- índice referencial das grandezas relativas à saída da bomba. Desta forma, considerando que a altura manométrica é definida como sendo a quantidade de energia absorvida por 1 kg de fluido que atravessa a bomba, podemos escrever: P V  P V  H man   2  2  y    1  1    2g    2g  (4. H man  E2  E1 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Quando os dois mostradores estiverem nivelados  y  0  Fig. Figura 4. – Bombas com manômetro e vacuômetro nivelados. de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil 104 Máquinas Termohidráulicas de Fluxo 4.

– Triângulos teóricos superpostos. de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Máquinas Termohidráulicas de Fluxo 105 Através da Fig. conclui-se: H din  V22  V12 V22  2g 2g (4. A partir da Eq. Considerando o triângulo de velocidades à saída (Fig. e aplicando a equação da continuidade ao rotor da bomba, temos: Vt 2  u2  Vr 2  cot  2 Vr 2  (4. Q  d 2b2 (4.   u2    wr 2  Vr 2 V2 w2  2 2 u2    u2  Vt 2 Vt 2  u2 Figura 4. – Triângulo de velocidades de saída. Brasil 107 Máquinas Termohidráulicas de Fluxo H th cresce com o aumento da vazão, sendo sua representação gráfica uma reta ascendente, passando pela ordenada u22 g. Figura 4. – Influência do ângulo 2 na curva  H th , Q . Assim, somado ao fato do rotor com pás inclinadas para frente ceder mais energia cinética que energia de pressão, surge um outro fato que reafirma a inconveniência desta concepção construtiva da palheta.

Em decorrência da curva  H th , Q  ser de natureza ascendente, constata-se que, testada numa bancada de ensaios, a curva  H man , Q  apresenta-se também com um ramo ascendente na origem (Fig. Os experimentos têm revelado que entre H th e H th existe a seguinte relação, conhecida por coeficiente de Pfleiderer: H th  Pfl  H th (4. onde: Pfl  1  2  r2  22 2 Z r2  r1 (4. Nesta expressão: Z: r2 : r1 : : número de palhetas; raio externo do rotor; raio interno do rotor; coeficiente tabelado em função de  2 , como mostra o gráfico da Fig. Como se vê pela Eq. o fator de correção de Pfleiderer é um número maior que 1, significando ser H th , sempre maior que H th. Influência da Espessura das Pás.

Correção. Consideremos o corte radial do rotor centrífugo apresentado na Fig. e sejam no mesmo considerado os seguintes pontos: Figura 4. – Corte radial do rotor centrífugo. Rendimentos a Considerar em uma Bomba Rendimento Hidráulico (h) O primeiro rendimento a ser definido é o que relaciona as energias específicas representadas por H th energia cedida e H man energia realmente recebida, que no final as diferenças, representam as perdas hidráulicas no interior da bomba ou mais precisamente no rotor. Leva em consideração o acabamento superficial interno das paredes do rotor e da carcaça da bomba. Representado por: h : rendimento hidráulico da bomba; H man : energia absorvida por 1 kg de fluido que atravessa a bomba; H th : energia cedida a cada um dos kg de fluido que atravessam a bomba; H1 2 : energia dissipada no interior da bomba (função do seu acabamento superficial interno).

H th  H man  H1 2 h  01 de fevereiro de 2010 H man H th (4. Alex N. O rendimento volumétrico assume valores notavelmente elevados, tendo em vista a recirculação e os vazamentos (q) constituírem um valor muito pequeno. Estes, recirculação e vazamentos, constituem um valor maior em bombas que desenvolvem grandes pressões. Em termos médios, tem-se: Tabela 4. – Faixa de valores de rendimento volumétrico. Tipo de bomba Bomba de baixa pressão H man < 15 m Bomba de média pressão 15 m  H man  50 m Bomba de alta pressão H man > 50 m 01 de fevereiro de 2010 Faixa de valores de v 93 % a 98 % 88 % a 93 % 83 % a 88 % Alex N. N   Q  H man  (4. onde: N : potência necessária ao acionamento, em  kgm s  ;  : peso específico d fluido, em  kg m3  ; Q : vazão recalcada, em  m 3 s  ; H man : altura manométrica, em [m];  : rendimento total, em [%].

de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil 113 Máquinas Termohidráulicas de Fluxo Para se ter a potência necessária ao acionamento, em CV, usa-se: N   Q  H man 75  (4. Potência Instalada Tendo em vista a fabricação dos motores em série, são os mesmos construídos em potências determinadas (potências comerciais). Considerar 1  90º. Determinar: a) O triângulo de entrada; b) O triângulo de saída; c) H th ; d) H th ; e) Pfl. R. H th  12,54 m R. H th  11, 25 m R. b) R. H man  15,5 m Assim, o ponto B ( H man  15,5 m , Q  5 L s ) também é compatível. c) R. H man  15,5 m Para Q  5 L s , a bomba é capaz de desenvolver uma altura manométrica de H man  15,5 m. Logo: H man da bomba  15,5 m e a H man da instalação  20,0 m , ou seja, é incompatível.

Q  48,5  103 m3 s  48,5 L s b) Valor de H th para essa rotação (bomba com caixa espiral, sem difusor de pás diretrizes); R. H th  30 m c) Potência do motor; R. N  28,8 cv d) Se H man  25 m , qual o t (rendimento total) da bomba. R. t  78 % 6. Que haja semelhança cinemática. Que haja semelhança dinâmica. Semelhança Geométrica Existe semelhança geométrica entre duas bombas, protótipo e modelo (Fig. quando entre as suas dimensões lineares homólogas existir sempre a mesma relação K, dita “razão de semelhança geométrica”. Desta forma, considerando duas bombas (Fig. E quando: 4. Semelhança Dinâmica Existe semelhança dinâmica entre um protótipo e um modelo (em se tratando de máquinas hidráulicas), quando o número de Reynolds (característica do escoamento) for o mesmo para o protótipo e modelo.

Rei  Re m Onde: Re  VD  (4. Onde: V : Velocidade, em m/s; D : Diâmetro, em m;  : viscosidade cinemática, em m 2 s. de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil 119 Máquinas Termohidráulicas de Fluxo A bomba anteriormente funcionava com n e Q e, passou para n’ e Q’, no mesmo fluido: (Mesmo fluido) Q' n'  Q n (4. H ' n '2  2 H n (4. N ' n '3  3 N n (4. Com fluidos diferentes: a bomba anteriormente funcionava com n, Q no fluido de peso específico  , e passou a funcionar com n’, N’ no fluido de peso específico ’. N '  ' n '3   3 N  n (Fluidos diferentes) (4. Esta equação é: n11  0,5  ns  75 (4. Onde, conforme a equação temos: n11  nd H (4. Na expressão, d é, então, o diâmetro ótimo que deverá ter o rotor e que é, assim, perfeitamente determinável usando-se as Eq.

e (4. Em (4. Uma bomba geométricamente semelhante de 380mm está girando a 1. rpm. Considerando eficiências iguais, pede-se: a) Qual a altura a ser desenvolvida? b) Qual a vazão recalcada? c) Qual a potência desenvolvida? 2. Uma bomba A, com rotor de diâmetro d A  75mm e operadno a 3400 rpm, fornece uma vazão de 60 m3 h e desenvolve uma altura manométrica de 20m, necessitando para tal de uma potência de acionamento de 10 cv. Pede-se determinar para uma bomba B, com rotor de diâmetro d B  100mm e mecanicamente semelhante à bomba A, operando sob uma altura manométrica de 30m: a) Rotação; b) Vazão fornecida; c) Qual a potência desenvolvida? 3. de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Máquinas Termohidráulicas de Fluxo 122 4. Teoria da Semelhança e Escala Reduzida (Turbinas) Grande parte do progresso da mecânica dos fluidos, tanto no que diz respeito aos conhecimentos básicos como às aplicações em engenharia, é conseqüência da experimentação, particularmente em modelos reduzidos.

A obtenção, por via experimental, de leis que relacionam as grandezas intervenientes num fenômeno pode ser facilitada pela análise dimensional. A transposição para o protótipo dos resultados obtidos sobre um modelo é regida pela teoria de semelhança, que freqüentemente se trata em conjunto com a análise dimensional (Quintela, 1981). Brasil 123 Máquinas Termohidráulicas de Fluxo o comportamento é idêntico em idênticas situações; as perdas são proporcionais; os rendimentos são iguais; o coeficiente de cavitação é o mesmo (Carvalho, 1982). E sendo mecanicamente semelhantes, entre as grandezas que caracterizam os comportamentos do protótipo e do modelo, existem as seguintes relações (Macintyre, 1983; Carvalho, 1982): 2  D'   H '  N' N     D H  D  H' n'  n     D'  H  2 32 12  D'   H '  Q'  Q       D H  12 N'  H' ou  K 2   N H n' 1  H '  ou    n K H 32 (4.

Q'  H' ou  K 2   Q H (4. M' H'  D'  H ' ou  K3  M ' M    M H D H (4. Nestas expressões:  K: razão de semelhança geométrica entre protótipo e modelo;  H, Q, N, M, n: grandezas relativas ao modelo;  H´, Q´, N´, M´, n´: grandezas relativas ao protótipo. O estudo da similaridade entre modelo e protótipo não leva em consideração a viscosidade e, portanto, o número de Reynolds, que seria exigido para que além da semelhança geométrica se tenha perfeita semelhança hidrodinâmica. Se a viscosidade fosse considerada, chegar-se-ia a velocidades quase impraticáveis para os modelos (Macintyre, 1983). Então temos, Re  VD  onde: Re   D - número de Reynolds - massa específica - viscosidade - diâmetro do eixo O número de Mach é importante somente nos compressores axiais e turbinas a gás (Streeter e Wylie, 1980).

Considere agora o efeito da rugosidade relativa. Esta novamente deve ser mantida constante, devido à similaridade geométrica, a qual é a condição primária para manter as leis de modelo. de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Máquinas Termohidráulicas de Fluxo 125 Por outro lado, Macintyre (1983), relata que devido à dificuldade em se manter perfeita semelhança hidrodinâmica, os modelos terão rendimentos bem inferiores aos que serão alcançados com o protótipo. Assim, o rendimento do modelo pode ser de 60%, enquanto que o da turbina protótipo alcançaria mais de 80%. Os rendimentos das turbinas de potências muito elevadas, de mais de 100. cv, ultrapassam 90%. Velocidade Específica (ns) para Turbinas Hidráulicas Duas turbinas geometricamente semelhantes funcionam em condições de semelhança dinâmica e, portanto, com o mesmo rendimento (a menos do efeito de escala), se as velocidades de rotação, n e n’, as quedas úteis, H e H’, e as potências, N e N’, estão relacionadas por (Macintyre, 1983) 1 5 n  N'2  H 4     n'  N   H '  (4.

A velocidade específica de uma dada turbina é determinada no seu ponto de eficiência máxima e define-se por 1 ns  n N2 H 5 4  n [rpm]   N [cv]  H [m]  (4. e representa, de acordo com a teoria de semelhança, a velocidade de uma turbina geometricamente semelhante à primeira que, funcionando com igual rendimento, fornece uma potência unitária sob queda útil unitária. É um parâmetro de grande utilidade no estudo de turbinas e, tal como n, é expresso em rotações por minuto; o seu valor depende das unidades utilizadas para a queda e para a potência (Quintela, 1981). A um certo valor de ns faz-se corresponder uma turbina com determinada geometria, de modo tal que todas as turbinas geometricamente semelhantes, trabalhando com n, H e N de máximo rendimento, deverão ter o mesmo ns.

Qual deverá ser o diâmetro de entrada do receptor no modelo? Com que número de rotações deverá ser realizado o ensaio e qual a potência a ser absorvida pelo freio dinamométrico? 2. No Laboratório de Máquinas Hidráulicas do Centro Técnico-Científico da PUC/RJ, no ensaio de uma turbina Francis, doada pela J. M. Voith, obtiveram-se os seguintes valores: H = 6,1 m (desnível obtido com um reservatório de nível constante); Q = 0,077 m3 s ; n = 800 rpm; N = 5 cv. Calcular os valores de Q, n e N que seriam obtidos para valores da queda de 4 m e de 20 m. – Curvas características de uma bomba radial ou centrífuga pura (rotação de acionamento constante). de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil 129 Máquinas Termohidráulicas de Fluxo São obtidas nas bancadas de ensaios dos fabricantes e as principais curvas características são:  H man , Q  : retrata a variação da altura manométrica desenvolvida em função da vazão recalcada;  ,Q  : mostra a variação do rendimento em função da vazão;  N,Q : espelha o relacionamento existente entre a potência necessária ao acionamento e a vazão recalcada;  NPSH req , Q  : variação do NPSH requerido com a vazão.

O aspecto destas curvas depende do tipo de rotor, conforme mostram as Figs. e 4. Assim, é comum o fabricante, para ampliar o campo de emprego de uma bomba, levantar as curvas características em várias rotações. Para simplificar o uso destas curvas, ao invés de apresentar as curvas  ,Q  para várias rotações, o fabricante une sobre as curvas  H , Q  todos os pontos de mesmo rendimento, formando as chamadas parábolas de iso-eficiência (Fig. Fig. – Curvas (H,Q) em várias rotações juntamente com as parábolas de isso-eficiência. Dentro de certos limites, a variação de diâmetro tem sobre as curvas características a mesma influência que a variação de rotação (ambas influem linearmente na velocidade tangencial do rotor).

É definida pela equação: H man  H o  pr  pa  H  (4. K 'Q2 D5 (4. Na Eq. H  Onde: K ' : característica que depende, entre outros, da natureza do regime de escoamento; D : diâmetro da tubulação; Q : vazão. Em um determinado sistema, considerando-se constante o diâmetro e supondo que a natureza do regime de escoamento permaneça invariável (no bombeamento o escoamento é sempre turbulento), teremos: K' K D5 (4. Bombas em Série e em Paralelo As bombas podem ser associadas: Em paralelo; Em série. Fig. – Esquemas típicos de associação em paralelo e em série. A associação em paralelo comparece com freqüência no abastecimento de água de cidades, bem como em serviços industriais e tem sempre a finalidade de aumentar a vazo recalcada e dar ao sistema uma maior flexibilidade em termos de atendimento da demanda, através da retirada ou colocação das unidades em funcionamento.

Esta retirada de unidades em funcionamento para atendimento da demanda permitirá, inclusive, a existência de uma manutenção preventiva (programada até) de reflexos altamente positivos. – Associação de duas bombas iguais em paralelo. É o caso mais recomendado e comum de associação em paralelo. Para a obtenção da curva de duas bombas iguais associadas em paralelo, basta marcar o dobro da vazão para cada altura: AB  BC A ' B '  B 'C ' Ou seja, para se obter a curva de duas bombas A colocadas em paralelo, construímos a curva 2A, onde para cada valor de H dobramos a vazão. Por exemplo, para a altura H A na curva A correspondente a QA ; na curva 2ª o ponto é P’ e Qt é igual a 2QA. Associadas em paralelo duas bombas A, o ponto de operação será P’ (interseção da curva característica das bombas (2A) com a curva característica do sistema), onde se lê a altura manométrica H A e a vazão Qt.

– Curva (H,Q) resultante da associação de bombas em série. Para se obter a curva característica resultante da associação de duas bombas em série, sejam elas iguais ou diferentes, basta somar, para cada valor da vazão, as alturas manométricas correspondentes a ambas as bombas. Assim, para a vazão Qt , temos: Ht  H A  H B (4. Observar que a associação de rotores em série numa mesma carcaça apresenta, sobre a associação em série de bombas, a vantagem da não multiplicação de casas de bombas, dos órgãos de acionamento e dos órgãos de comando e controle de operação. Na associação de bombas (propriamente ditas) em série, observar se o flange de sucção da segunda agüenta a pressão de descarga da primeira e ainda se a carcaça da segunda suporta a pressão de descarga total.

de fevereiro de 2010 50 60 70 80 0 10 20 30 40 50 60 70 Alex N. Brasil 80 137 Máquinas Termohidráulicas de Fluxo 3. A figura abaixo mostra a curva característica  H man , Q  de uma bomba a 1750 rpm. Caso pretendêssemos que esta bomba operasse em uma instalação com ambos os reservatórios abertos e de desnível igual a 20 metros, recalcando 18 m3 h de água à altura manométrica de 30 metros, determinar: a) A curva  H , Q  da instalação; b) A rotação da bomba para que ela desempenhe aquele serviço; c) Traçar a curva da bomba a esta nova rotação. H [m] H [m] R. São apresentadas, abaixo, as curvas características de 2 bombas B-1 e B-2. a) Determinar a curva resultante da ligação em série destas 2 bombas. b) Determinar a eficiência do conjunto ao estar fornecendo a vazão de 4 m3 s.

R. t  54% 01 de fevereiro de 2010 Alex N.