A noção de números reais

um objeto matemático que surgiu a partir dos requisitos de medição das grandezas geométricas e físicas do mundo, bem como a realização de operações computacionais como extração de raízes, cálculo de logaritmos, solução de equações algébricas e estudando o comportamento das funções.

Enquanto os números naturais surgiam no processo de contagem, os números racionais surgiram devido à necessidade de operar com partes do todo, os dígitos reais foram inventados para a medição de quantidades contínuas. Assim, a expansão do estoque de números em questão levou ao conjunto de números reais, que além dos números racionais também incluem outros elementos, chamados de números irracionais.

Visualmente, o conceito de números reais pode ser imaginado com a ajuda da linha numérica. Se você selecionar a direção na linha, o ponto inicial e a unidade de comprimento para medir comprimentos, de modo que cada número possa ser associado a um ponto específico na linha, e vice-versa, enquanto cada ponto será apenas um número. Como resultado, o termo da linha numérica é geralmente usado como sinônimo para o conjunto de dígitos reais.

História dos números reais

O conceito de um número real passou por um longo caminho de formação. Mesmo na Grécia Antiga, na escola de Pitágoras, que considerava todos os inteiros e suas relações como base, foi descoberta a existência de magnitudes incomensuráveis (incomensurabilidade do lado e diagonal de um quadrado), isto é, na terminologia moderna - números que não são racionais. Em seguida, Eudoxo de Cnidus tentou construir uma teoria geral dos números, que incluía os valores díspares. Depois disso, por mais de dois mil anos, ninguém sentiu a necessidade de uma definição precisa do conceito de números reais, apesar da expansão gradual desse conceito. Somente na segunda metade do século XIX, quando o desenvolvimento da análise matemática exigiu a reconstrução de suas fundações no nível novo e superior, uma teoria estrita de dígitos reais foi estabelecida nos trabalhos de Weierstrass, Dedekind, Cantor, Heine e M & eacute; ray.

Do ponto de vista da matemática moderna, o conjunto de números reais é um campo ordenado contínuo. Essa determinação, ou um sistema equivalente de axiomas, define exatamente o conceito de um número no sentido de que existe apenas um, até o isomorfismo, um campo ordenado contínuo. O conjunto de números reais tem uma designação padrão - R («negrito R»).

Tipos de números reais

O número real é qualquer número positivo, um número negativo ou zero. Eles são divididos em números racionais e irracionais.

Os números mais simples são inteiros positivos 1, 2 e assim por diante, que são usados a longo prazo. As necessidades da prática levaram à formação de frações simples, ou seja, números da forma 1/2, 3/5 e assim por diante. Muito mais tarde, os indianos inventaram um número importante 0 e, no início de nossa era, os italianos inventaram números negativos.

De um modo geral, o conceito de um número é um dos conceitos mais incertos em matemática.

Um número racional é um número que pode ser representado como m / n, onde m é um inteiro e n é um número natural.

Os números irracionais são decimais infinitos e não recorrentes.

Números racionais e irracionais com as regras feitas para eles são chamados de números reais.

Propriedades dos números reais

• Conexão com números racionais.
  É óbvio que na linha numérica, números racionais são organizados alternadamente com os números reais com o conjunto denso de números reais. Surge a pergunta: com que freqüência números reais e racionais aparecem na linha numérica e é possível distingui-los uns dos outros? A resposta a esta pergunta é dada por três lemas, baseados principalmente no axioma de Arquimedes.

Lema 1: para qualquer número real e qualquer distância racional positiva tomada de antemão existe um par de números racionais, separados por menos que esta distância, de tal forma que o número real é o intervalo entre os números racionais. Este lema diz que qualquer número real pode ser especificado com precisão em ambos os lados para trazer os números racionais.

Lema 2: Existe um número racional entre quaisquer dois reais reais. Uma conseqüência óbvia deste lema é que existe um conjunto inteiro de números racionais entre quaisquer dois verdadeiros incompatíveis. Além disso, ainda mais óbvio é o fato de que existe um número real entre dois números racionais diferentes.

Lema 3: A aproximação de um dígito real por um racional, descrito no Lema 1, identifica um dígito real de uma maneira única.

Esses lemas, em primeiro lugar, dizem que o conjunto de dígitos reais não é tão "estreito" quanto o conjunto de números racionais, como pode parecer. Este fato é especialmente claramente ilustrado pelo segundo lema. Todos os três lemas são amplamente usados para provar vários teoremas relacionados às operações de adição e multiplicação de dígitos reais.

• Propriedades teóricas de conjunto.
  Inicialmente, os dígitos reais eram uma generalização natural dos números racionais, mas foi descoberto pela primeira vez que eles têm uma propriedade de não-numeribilidade, o que significa que o conjunto de dígitos reais não pode ser numerado, isto é, não há bijeção entre os conjuntos de números reais e naturais.

Construção de dígitos reais

Ao usar uma definição construtiva de um dígito real com base em objetos matemáticos conhecidos (por exemplo, o conjunto de números racionais (Q), que são tomados como definidos, novos objetos estão sendo construídos, os quais, em certo sentido, refletem nossa compreensão intuitiva do conceito de um dígito real.A diferença essencial entre os dígitos reais e esses objetos construídos é que os primeiros, diferentemente dos últimos, são entendidos apenas intuitivamente, e ainda assim não são estritamente definidos com um conceito matemático.

Esses objetos são declarados como dígitos reais. É possível fazer operações aritméticas básicas com eles.

Historicamente, as primeiras definições rigorosas de dígitos reais eram definições construtivas. Em 1872, três obras foram publicadas ao mesmo tempo: a teoria das sequências fundamentais por Cantor, a teoria de Weierstrass (na versão moderna - a teoria dos decimais infinitos) e a teoria dos cortes na área dos números racionais por Dedekind. / p>

• Teoria das seqüências fundamentais de Cantor.
  Nessa abordagem, o dígito real é considerado como o limite de uma seqüência de números racionais. Para que a seqüência de números racionais converja, a condição de Cauchy é imposta a ela. O significado dessa condição é que os membros da sequência, começando com um certo número, estarão arbitrariamente próximos um do outro. O método de construir o conjunto de dígitos reais através de seqüências Cauchy de números racionais é um caso especial de construção de recarga de um espaço métrico arbitrário. Assim como no caso geral, a conclusão resultante do conjunto de dígitos reais em si já está completa, ou seja, contém todas as sequências fundamentais de seus elementos.
• A teoria dos decimais infinitos.
  Um dígito real é definido como uma fração decimal infinita.
• A teoria dos cortes na área de números racionais.
  Na abordagem de Dedekind, os dígitos reais são determinados pelos cortes no conjunto de números racionais. Um corte no conjunto de números racionais (Q) é qualquer partição do conjunto de todos os números racionais em duas classes não vazias - a inferior A e a superior A ', de modo que cada número da classe inferior seja estritamente menor que qualquer número da classe alta.

Generalização de números reais

O campo de dígitos reais (R) é constantemente servido em matemática como uma fonte de generalizações em uma variedade de importantes orientações práticas. As opções de sistemas numéricos generalizados apresentados abaixo estão diretamente ligadas ao campo R.

• Números complexos.
  Esses números são especialmente proveitosos em álgebra e análise.
• Números de intervalo.
  Estes números são usados principalmente na teoria do cálculo aproximado e na teoria da probabilidade.
• Análise não padrão.
  A análise adiciona números infinitamente pequenos e infinitamente grandes (de ordens diferentes) aos números reais.

Aplicativo

O modelo matemático dos dígitos reais é usado em toda parte em ciência e tecnologia para a medição de variáveis em constante mudança. No entanto, não é sua principal aplicação, pois os valores reais medidos sempre têm um número finito de sinais decimais, ou seja, são números racionais. O principal objetivo deste modelo é servir de base para métodos analíticos. O enorme sucesso desses métodos nos últimos três séculos mostrou que o modelo dos números reais reflete, na maioria dos casos, a estrutura das variáveis físicas contínuas.

Isso, é claro, não significa que a linha do dígito real seja uma imagem exata do valor contínuo real. Por exemplo, a ciência moderna ainda não sabe se o espaço e o tempo são discretos ou divisíveis sem limite. Entretanto, mesmo no segundo caso, o modelo de dígitos reais para essas grandezas deve ser considerado como aproximado, uma vez que os conceitos de ponto espacial e momento do tempo são idealizações que não têm equivalente real. Essa questão fundamental é amplamente discutida na ciência, começando com os paradoxos de Zenão. Esse modelo também é aproximado quando aplicado às grandezas, que na física clássica eram consideradas contínuas, mas na verdade se mostraram discretas (o quantizado).