Noções de Geometria Projetiva

A Geometria Projetiva é o campo da matemática que pesquisa as características geométricas invarianteriormente de uma projeção. Ela surge no século XVII da tentativa de entender matematicamente as técnicas de desenho em perspectiva empregadas pelos talentosos da Renascença. De outra forma, a Geometria Descritiva igualmente se utiliza de projeções para sinalizar objetos tridimensionais em um plano bidimensional. Desta forma, a Geometria Projetiva dialoga com a figura artística pelo meio de das regras de perspectiva, e juntamente o desenho profissional pelo meio de da Geometria Descritiva. A partir das relações pelo meio de estes três campos da competência, elaboramos uma proposta didática para a instrução da Geometria Projetiva. From the relations between these three fields of competence, we elaborated a didactic proposal for the instruction of projective geometry.

Keywords: Geometry. Projective. Art. SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO. Porém, caso vista e entendida como um saber real propicia a chegada do saber de entendimento comum à instrução sistematizada cientificamente. Santos (2008, p. corrobora essas premissas: No âmbito escolar, a educação da matemática é vista como uma linguagem capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferenças. Na escola a criança deve envolver-se com atividades matemáticas que a educam nas quais ao manipulá-las ela construa a aprendizagem de forma significativa, pois o conhecimento matemático se manifesta como uma estratégia para a realização das intermediações criadas pelo homem, entre sociedade e natureza. Desse modo, a estruturação da instrução matemática deve existir um andamento em que os alunos se apropriem dos conteúdos curriculares de modo motivadora e significativa.

Um dos mais famosos ´e ”A Ceia”. Na figura abaixo estão identificados as linhas e o ponto de fuga, que se localiza na testa do Cristo. Entrementes os últimos restauros, realizada nos anos 1990, que encontraram na cabeça de Jesus um prego, usado para marcar o ponto de fuga usado por Leonardo para compor a perspectiva perfeita da obra. Figura 5. A Ceia, por Leonardo da Vinci - projeto e destaque para as linhas de fuga. Porém, suas ideias não foram muito bem aceitas e entendidas, eventualmente conveniente a linguagem imprópria para a ´época. Somente no início do século XIX, Jean Victor Pincele (1788-1867), recomeçou o estudo, publicando, em 1822, um trabalho com o título “Tratado das características projetivas das figuras”. Na verdade, as geometrias não euclidianas só efetivamente receberam uma abordagem matemático após que Hilbert conseguiu axiomática e estabelecer um exemplar matemático para a Geometria Euclidiana.

Por conseguinte, surgiram contestações particularmente ao axioma das paralelas e assim aquelas geometrias começaram a se impor. Claramente, a Geometria Projetiva facilita a compreensão da percepção de perspectiva utilizada pelos renascentistas, porém a base axiomática, o modelo do espaço, os entes geométrico considerados tais como ponto, reta, plano enfim, as dimensões reais e as características méticas dos objetos tem escasso valor em uma obra, por exemplo, pois não se transmite as imagens porque o que e essencial conhecer são as características visuais das figuras. Inicialmente, considera-se o espaço vetorial R3 subtraído do seu vetor nulo ⃗o, ou mais perfeitamente, R3 − {o} que será chamado de R3 perfurado na origem ou, simplesmente, R3 perfurado. Portanto Γ ⊂ R3 − {o} ´e um plano em R3 − {o}, se ele ´e a cruzamento do plano Γ ⊂ R3 com R3 − {o}.

Logo, se Γ contiver a origem, ele será um plano perfurado. De modo análogo, define-se uma reta perfurada em R3 − {o}, ou mais perfeitamente, l ⊂ R3 − {o} ´e chamada reta em R3 − {o}, se l = R3 ∩ (R3 − {o}). Assim, l pode ou não ser perfurada, caso incida ou não na origem. Considera-se agora, a restrição da função projeção Ψ ao plano elíptico S2, que denotaremos por Ψ0, ou mais perfeitamente, Ψ0: S2 → RP2, e, utilizando-a como ferramenta, estabeleceremos alguns fatos sobre o plano projetivo RP2. Apresenta-se que a aplicação Ψ0 ´e sobrejetiva. Assim, estando v um ponto projetivo possuímos que a reta perfurada Ψ−1(v) = {λv; λ = 0̸ } interseta o plano elíptico nos pontos E, tais pontos, não dependem do representante da classe de equivalência v. Como u ∈ v, se calcularmos Ψ0(u) e Ψ(u) obteremos o mesmo vetor v, o que significa que a restrição acima ´e sobrejetiva.

e Efetivamente o argumento acima mostra mais. Portanto para comprovar o primeiro axioma de incidência, precisaremos estabelecer um resultado que nos fornece um critério de incidência entre uma reta projetiva e um ponto projetivo. A prova usará o produto interno de R3. Uma reta projetiva rη incide no ponto projetivo v, se e somente, ⟨v,η⟩ = 0. Essa condição não depende dos representantes do ponto projetivo e da indexação. Prova. Duas retas projetivas distintas, r e r concorrem no ponto. v = η × ν ∈ RP2. Tal ponto não depende dos representantes das indexações. Prova. Suponhamos que rη e rν projetam-se em rη e rν, respectivamente. Figura 5. Projetos de Arquitetura Na linguagem do cinema, uma fotografia perspectiva de um ponto, ´e quela em que há somente um único ponto de fuga em toda visão.

Todas as linhas paralelas na cena convergem para aquele único tópico, puxando a atenção do espectador. Essa e uma marca registrada do diretor Stanley Kubrick (1928-1999), que a utilizava em todos os seus filmes, com o objetivo de acrescentar a tensão entrementes às cenas Figura 5. O 2001 - Uma odisseia no Espaço 2. Figura 5. CP03 e CP04 3. Transfira a mediada da base AB utilizando uma reta que passa por A e paralela `a HB encontrando LH no ponto J. Ligue J ao ponto B encontrando em PF A o ponto E. Traça-se uma perpendicular a LH passando por E encontrando o ponto L em PF D. A Barros, Abdˆenago e Andrade, Pl´acido, Introdu¸c˜ao `a Geometria Projetiva. Textos Universit´arios, SBM, 2010. Boyer, Carl B. Historia da Matemática.

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