Geometria Analitica

Equação Paramétrica da Reta. Plano 12 2. Equação Geral do Plano. Equação Paramétrica do Plano. Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano. Porém, as indicações sobre quem possivelmente seria o patrono da G. A. Geometria Analı́tica) não formam um senso comum. Muitos historiadores dão crédito também ao matemático Pierre de Fermat, vistos os seus estudos no campo das equações que representavam curvas no plano. Além disso, outros estudiosos apontam esse conhecimento como advindo, ora dos egı́pcios, ora dos gregos ou romanos. Em outros ela favorece aqueles que utilizam a matemática ou outras ciências inconscientemente, os leigos dos aspectos técnicos, porém essenciais ao funcionamento do mundo. Para tanto discutiremos algumas definições importantes da geometria analı́tica, por exemplo, ponto, reta e plano e algumas relações entre si.

Capı́tulo 1 Reta 1. Equação Geral da Reta A equação geral de uma reta é dada pela expressão ax + by + c = 0 Em que os coeficientes a, b e c são números reais constantes, considerando a e b valores diferentes de zero. Para se determianar a equação geral de uma reta podemos proceder de duas maneiras: 5 (i) Através da determinação do coeficiente angular da reta e utilização de uma forma geral dada por: y − y1 = m(x − x1 ). y − 1. x − 1. y. x + 4y − 6x − 4 − y = 0 −5x + 3y − 2 = 0 −5x + 3y + 2 = 0: equação geral da reta que passa pelos pontos P (1, 1) e X(4, 6) 1. Equação Paramétrica da Reta Considere um ponto A(x1 , y1 , z1 ) e um vetor não-nulo ~v = (a, b, c).

como ~n é normal a π, sua equação é do tipo 3x + 2y − 4z + d = 0 e sendo A um ponto do plano, suas coordenadas devem verificar a equação, isto é, 3(2) + 2(−1) − 4(3) + d = 0 6 − 2 − 12 + d = 0 d = 8 Logo, uma equação geral do plano π é 3x + 2y − 4z + 8 = 0 Exemplo 2: Escrever uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 3) e é paralelo ao plano π1 : 3x − 4y − 2z + 5 = 0. è imediato que um vetor normal a um plano é também normal a qualquer plano paralelo a este. Então, como π//π1 , o vetor ~n1 = (3, −4, −2) normal a π1 , é também normal a π. Logo, uma equação de π é da forma 3x − 4y − 2z + d = 0 Tendo em vista que A ∈ π, suas coordenadas devem verificar a equação: 3(2) − 4(1) − 2(3) + d = 0 e d = 4, potanto, uma equação de π é 3x − 4y − 2z + 4 = 0 Exemplo 3: A reta     x = 5 + 3t    r = y = −4 + 2t      z = 1 + t é ortogonal ao plano π que passa pelo ponto A(2, 1, −2).

Determine uma equação geral de π. Exemplo 3: Dado o plano π de equação 2x − y − z + 4 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas de π. Basta tomarmos três pontos A, B e C não alinhados de π e proceder como no exemplo anterior, Fazendo x = y = 0 vem z = 4 portanto A(0, 0, 4) ∈ π x = 1 e y = 0 vem z = 6 portanto B(1, 0, 6) ∈ π x = 0 e y = 1 vem z = 3 portanto C(0, 1, 3) ∈ π ~ = (1, 0, 2) e AC ~ = (0, 1, −1) são vetores diretores de π, as Como AB equações 16     x = 0 + 1. h + 0. t    y = 0 + 0. h + 1. Exemplo 3: Seja o plano π : x − 2y + z + 7 = 0 com vetor normal ~n = (3, 3, 3) e a reta r : x + 4y = 0 com vetor diretor ~v = (1, 1, 1). Verifique a posição relativa entre a reta r e o plano π. Observe que para que o ~n = α~v , assim por (ii) temos que a reta r é perpendicular ao plano π.

Interseção de Dois Planos Sejam os planos não paralelos π1 : 5x − y + z − 5 = 0 e π2 : x + y + 2z − 7 = 0 A interseção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. Para tanto, dentre os vários procedimentos, apresentaremos dois 1) Exemplo 1: Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de qualquer ponto (x, y, z) ∈ r devem satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos. Logo, I(2, −1, 3) é a interseção de r e π, ou seja, é a interseção dos três planos. Exemplo 3: 2. Paralelismo e Interseção do Plano com os Eixos 2. Paralelismo do Plano com os Eixos Se o vetor normal ~n é do tipo (0, b, c), por exemplo, ao multiplicá-lo pelo vetor ~i = (1, 0, 0), temos que~n.

i = (0, b, c). Logo: AB  x y−1 z−2    1 0 0  1 2 −2    =0  Calculando o determinante da matriz, obtemos a equação da reta, que corresponde a : y + z − 3 = 0. Exemplo 2: Obter a equação do plano que contém a reta   x + y − z + 3 = 0 e seja paralelo ao eixo das abcissas. r:  x − y + 2z + 5 = 0 Para resolver devemos obter o vetor da reta, e o Ponto. Das equações da reta r, resolvemos o sistema, colocamos na forma reduzida e tiramos as informações necessárias (ou seja escrevemos y e z em função de x). Depois devemos obter um vetor perpendicular ao eixo das abscissas e ao vetor da reta. Capı́tulo 3 Conclusão Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações em planos, retas, curvas e cı́rculos, geralmente em duas dimensões, mas, por vezes, também em três ou mais.

A geometria analı́tica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples: ela diz respeito à definição e representação de formas geométricas de modo numérico e à extração de informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma. O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contı́nuo linear da geometria baseia-se no axioma de Cantor-Dedekind, que não entraremos em discussão mas apresenta um importante resultado matemático. Em matemática, a expressão geometria analı́tica possui dois significados distintos. E-BIOGRAFIAS. René Descartes. Disponı́vel em: biografias. net/rene descartes/.

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