Lista de exercicios Transformada Z

Lembrando da expressão para o somatório de séries geométricas infinitas: ∞ X a0 q n = n=0 a0 1−q Aplicando às nossas séries, temos: Z(x[n]) = 1 1 − 1 + 2z −1 1 + 3z −1 Multiplicando os numeradores e denominadores por z, temos: 1 Z(x[n]) = z z − z+2 z+3 Somando as frações, temos: Z(x[n]) = z(z + 3) − z(z + 2) z ⇒ Z(x[n]) = (z + 2)(z + 3) (z + 2)(z + 3) Lembrando novamente de séries geométricas, temos para a regiâo de convergência: |q| < 1 Aplicando para a nossa série, temos: ( | − 2z −1 | < 1 | − 3z −1 | < 1 ( |z| > 2 ⇒ |z| > 3 ⇒ ROC = {z ∈ C : |z| > 3} Avaliando a expressão obtida para a transformada, temos para polos as raı́zes do denominador: P = {−3; −2} E para zeros as raı́zes do numerador: R = {0} Graficamente, temos: ={z} ROC 4i 3i 2i 1i −4 −3 −2 P1 −1 1 P2 R1 −1i −2i −3i −4i 2 2 3 4 <{z} (b) x[n] = 3n u[n] − 3n u[n − 1] Aplicando a definição de transformada Z dada anteriormente, temos: ∞ X Z(x[n]) = z −n x[n] n=−∞ Substituindo o sinal dado, temos: ∞ X Z(x[n]) = {3n u[n] − 3n u[n − 1]}z −n n=−∞ Usando a propriedade distributiva, temos: Z(x[n]) = ∞ X ∞ X 3n u[n]z −n − n=−∞ 3n u[n − 1]z −n n=−∞ Juntando as exponenciais em uma só, temos: Z(x[n]) = ∞ X ∞ X (3z −1 )n u[n] − n=−∞ (3z −1 )n u[n − 1] n=−∞ A função degrau u[n] é nula para n < 0 e unitária para n ≥ 0: Z(x[n]) = ∞ X (3z −1 )n − n=0 ∞ X (3z −1 )n n=1 Perceba que as duas séries são idênticas, exceto pelo limite inferior da variável de iteração.

Podemos, porém, separar o primeiro termo da primeira série, de forma que ficamos com: Z(x[n]) = (3z −1 )0 + ∞ X (3z −1 )n − n=1 ∞ X (3z −1 )n n=1 Dessa forma as duas séries ficam idênticas, de forma que se anulem, nos dando o resultado procurado: Z(x[n]) = 1 Como o resultado obtido é uma constante, ele converge para qualquer valor de z: ROC = C E não tem polos ou zeros: P =∅ R=∅ Graficamente, temos: 3 ={z} ROC 4i 3i 2i 1i −4 −3 −2 −1 1 −1i −2i −3i −4i 4 2 3 4 <{z} (c) x[n] = −2u[−n − 1] + (−5)n u[n] Aplicando a definição de transformada Z dada anteriormente, temos: ∞ X Z(x[n]) = z −n x[n] n=−∞ Substituindo o sinal dado, temos: Z(x[n]) = ∞ X {−2u[−n − 1] + (−5)n u[n]}z −n n=−∞ Usando a propriedade distributiva e pondo as constantes em evidência, temos: Z(x[n]) = −2 ∞ X ∞ X u[−n − 1]z −n + n=−∞ (−5)n u[n]z −n n=−∞ Juntando as exponenciais em uma só, temos: Z(x[n]) = −2 ∞ X ∞ X u[−n − 1]z −n + n=−∞ (−5z −1 )n u[n] n=−∞ A função degrau u[n] é nula para n < 0 e unitária para n ≥ 0: Z(x[n]) = −2 −1 X z −n n=−∞ + ∞ X (−5z −1 )n n=0 Para a primeira somatória, façamos n → −n: Z(x[n]) = −2 ∞ X zn + n=1 ∞ X (−5z −1 )n n=0 Temos então duas progressões geométricas, com termos iniciais a0,1 = z e a0,2 = 1, respectivamente, e razões q1 = z e q2 = −5z −1 , respectivamente.

Usando a expressão para somatório de série geométrica já lembrado em itens anteriores, temos: Z(x[n]) = − 1 2z + 1−z 1 + 5z −1 Multiplicando o numerador e denominador da segunda fração por z, temos: Z(x[n]) = − 2z z + 1−z z+5 Somando as frações, temos: Z(x[n]) = −2z(z + 5) + z(1 − z) 3z(z + 3) ⇒ Z(x[n]) = (1 − z)(z + 5) (z − 1)(z + 5) Lembrando novamente de séries geométricas, temos para a regiâo de convergência: |q| < 1 Aplicando para a nossa série, temos: 5 ( |z| < 1 | − 5z −1 | < 1 ( |z| < 1 ⇒ |z| > 5 ⇒ ROC = ∅ Avaliando a expressão obtida para a transformada, temos para polos as raı́zes do denominador: P = {−5; 1} E para zeros as raı́zes do numerador: R = {−3; 0} Graficamente, temos: ={z} 5i 4i 3i 2i 1i −5 −4 P1 −3 −2 −1 1 R1 R2 −1i −2i −3i −4i −5i 6 2 P2 3 4 5 <{z} (d) x[n] = (−2)n u[−n] + 2
1 n 4 u[n] Aplicando a definição de transformada Z dada anteriormente, temos: ∞ X Z(x[n]) = z −n x[n] n=−∞ Substituindo o sinal dado, temos: ∞ X  n 1 u[n]}z −n Z(x[n]) = {(−2) u[−n] + 2 4 n=−∞ n Usando a propriedade distributiva, temos: Z(x[n]) = ∞ X n (−2) u[−n]z −n n=−∞ ∞ X  n 1 u[n]z −n + 2 4 n=−∞ Juntando as exponenciais em uma só, temos: Z(x[n]) = ∞ X (−2z ∞ X −1 n ) u[−n] + n=−∞  2 n=−∞ 1 −1 z 4 n u[n] A função degrau u[n] é nula para n < 0 e unitária para n ≥ 0: Z(x[n]) = 0 X (−2z n=−∞  n ∞ X 1 −1 z 2 ) + 4 n=0 −1 n Fazendo n → −n na primeira série, temos: n n ∞  ∞  X X 1 1 −1 Z(x[n]) = +2 z − z 2 4 n=0 n=0 Temos então duas progressões geométricas, com termos iniciais a0 = 1 e razões q1 = − 21 z e q2 = 14 z −1.

Usando a expressão para soma de uma série geométrica previamente apresentada, temos: Z(x[n]) = 2 1 + 1 + 12 z 1 − 41 z −1 Multiplicando o numerador e denominador da primeira série por 2 e da segunda série por 4z, temos: Z(x[n]) = 2 8z + 2+z 4z − 1 Somando as frações, temos: q  q   8 z + 32 + 52 z + 32 − 52 2(4z − 1) + 8z(2 + z) Z(x[n]) = ⇒ Z(x[n]) = (2 + z)(4z − 1) (2 + z)(4z − 1) Lembrando novamente de séries geométricas, temos para a regiâo de convergência: |q| < 1 Aplicando para a nossa série, temos: 7 ( 1 2z < 1 −1 4z ( 1 <1 ⇒ |z| < 2 |z| > 14 ⇒ ROC = {z ∈ C : 1 < |z| < 2} 4 Avaliando a expressão obtida para a transformada, temos para polos as raı́zes do denominador:  −2; P = 1 4  E para zeros as raı́zes do numerador: ( R= 3 − − 2 r 5 3 ;− + 2 2 r ) 5 2 Graficamente, temos: ={z} 3i 2i ROC 1i −3 R1 −2 −1 P1 1 R2 P2 −1i −2i −3i 8 2 3 <{z} (e) x[n] = (−3)n u[n] + 2
1 n 4 u[n] Aplicando a definição de transformada Z dada anteriormente, temos: ∞ X Z(x[n]) = z −n x[n] n=−∞ Substituindo o sinal dado, temos: ∞ X  n 1 u[n]}z −n Z(x[n]) = {(−3) u[n] + 2 4 n=−∞ n Usando a propriedade distributiva, temos: ∞ X Z(x[n]) = n (−3) u[n]z n=−∞ −n ∞ X  n 1 u[n]z −n + 2 4 n=−∞ No item (a) temos o resultado da primeira série e no item (d) temos o resultado da segunda: Z(x[n]) = 1 2 + 1 + 3z −1 1 − 14 z −1 Multiplicando o numerador e denominador da primeira série por z e da segunda série por 4z, temos: Z(x[n]) = z 8z + z + 3 4z − 1 Somando as frações, temos: Z(x[n]) = z(12z + 23) z(4z − 1) + 8z(z + 3) ⇒ Z(x[n]) = (z + 3)(4z − 1) (z + 3)(4z − 1) Usando as regiões de convergência de cada uma das séries também dos itens anteriores, temos: ( | − 3z −1 | < 1 1 −1 <1 4z ( |z| > 3 ⇒ |z| > 14 ⇒ ROC = {z ∈ C : |z| > 3} Avaliando a expressão obtida para a transformada, temos para polos as raı́zes do denominador:  −3; P = 1 4  E para zeros as raı́zes do numerador:  R= Graficamente, temos: 9  23 − ;0 12 ={z} ROC 4i 3i 2i 1i −4 −3 −2 P1 −1 R1 1 R2 P2 −1i −2i −3i −4i 10 2 3 4 <{z}.