A propagação do vírus covid-19 através de um modelo de crescimento exponencial

Foram feitas pesquisas em trabalhos de conclusão de curso, monografias, revistas e artigos, fornecendo subsídios de escritores como GOLDONI (2019), LIMA (2020), SOARES (2014), ZAGO (2016), WU (2020), entre outros, buscando ressaltar as principais contribuições de diversos pesquisadores e autores acerca da crise epidemiológica e o possível modelamento de sua propagação através de ferramentas matemáticas. Concluiu-se a importância do uso de instrumentos matemáticos e do conhecimento proporcionado por eles para o entendimento de situações que ocorrem ao redor das pessoas e como sua utilização serve para a compreensão do fenômeno, assim como por parte da comunidade médica e autoridades, para a tomada de decisão. Palavras-chave: SARS-Cov-2. Função exponencial. Modelo matemático. Introdução O presente trabalho tem como tema a propagação do COVID-19 explicada da partir do crescimento exponencial.

A função exponencial e a modelagem matemática fornecem ferramentas que permitem predizer fenômenos, estabelecer correlações e fornecer bases para ações governamentais, no sentido de responder aos períodos de menor ou maior surto da doença. Neste ponto de vista, construiu-se uma questão que orientara este trabalho: é possível compreender a propagação da epidemia, tendo em mãos dados da localidade, a partir de uma característica exponencial de crescimento? Neste contexto, o objetivo primordial deste estudo é entender como a função exponencial e a modelagem matemática são instrumentos muito eficazes na compreensão da proliferação do vírus SARS-Cov-2. O estudo deste assunto se justifica na medida da importância da aplicação dos conhecimentos matemáticos dentro de um contexto e de uma aplicação que tenha relevância, tanto dentro do campo da ciência quanto do entendimento da pandemia em si, que por si só, já é muito relevante.

Para alcançar os objetivos propostos, utilizou-se como recurso metodológico, a pesquisa bibliográfica, realizada a partir da análise pormenorizada de materiais já publicados na literatura, revistas e artigos científicos presentes em bibliotecas virtuais da Universidade Federal de Uberlândia, Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, entre outras, durante o período de 2013 e 2020. O conjunto A também é denominado domínio – D (f) e o B, contradomínio – CD (f) da função f. Todo elemento y, do conjunto B, que tem correspondência em um x, do conjunto A, é denominado imagem de x e todos esses valor de y constituem o conjunto imagem, simbolizado por Im (f) = 𝑦∈𝐵/ 𝑦=𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑥∈𝐴}. O gráfico resultante de f: A → 𝐵, com A e B contidos dentro do conjunto dos números reais, constitui todos os pontos do plano que tem o par ordenado (𝑥, 𝑓(𝑥)), com 𝑥 pertencente a 𝐴.

A sua representação é dada por: 𝐺𝑟(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈𝐴×𝐵/𝑦=𝑓(𝑥)} (SOARES et al. Um dos tipos de funções mais importantes para diversas aplicações é a exponencial. Seu gráfico é chamado de curva exponencial, interceptando o eixo no par ordenado (0,1) e assíntota ao eixo x, ficando sempre acima dele, para qualquer x que pertença aos números reais. Ela também é injetora, pois, todos os elementos do domínio têm como imagem, elementos diferentes no contradomínio; é sobrejetora, pois, todos os elementos contidos no contradomínio estão ligados a uma imagem de, no mínimo, um elemento do domínio da outra. Por fim, ela também é bijetora, pois, é injetora e sobrejetora, simultaneamente (ZAGO, 2016). O gráfico da exponencial pode ser visto na Figura 1, tanto para a positivo, quanto negativo. Figura 1: Exemplo de gráficos de funções exponenciais crescentes e decrescentes Fonte: Goldoni, 2019 Esse tipo de função tem várias aplicações no dia-a-dia, sobretudo no ramo industrial e científico.

Os estudantes realizam a coleta de informações que facilitam a sua solução, sendo que os dados são conseguidos no ambiente exterior à instituição escolar, o que faz com que os alunos já iniciem o processo de sintetização da situação-problema; 3ª possibilidade: partindo de assuntos que não são da Matemática, os estudantes concebem e solucionam problemas. Eles colhem as informações e destrincham a situação-problema (ZAVALA; ALMEIDA; MESQUITA, 2013). Relevante dizer que o educador irá realizar diversas intervenções enquanto o processo de solução estiver acontecendo, buscando estar próximo dos estudantes durante as investigações, trocando ideias e conversando com eles, sem se esquecer que é do educando, grande parte da responsabilidade da solução do problema. Com relação à primeira possibilidade, o educador terá que interceder mais e isso é importante, pois, constitui a primeira parte, o estágio inicial da modelagem matemática.

Depois que ele se sentir acostumado com os novos enfoques, ele pode trabalhar no seu fazer pedagógico, utilizando os demais casos (ZAVALA; ALMEIDA; MESQUITA, 2013). Quanto mais difícil o modelamento for, mais complicada será a sua validação; - Estocástico ou determinístico: conforme a utilização ou não de termos aleatórios no equacionamento (BERTONE; BASSANEZI; DA MOTTA, 2014). A modelagem funciona no instante em que há o entendimento de que ela trabalha com o ajustamento da realidade, isto é, que está sendo feita uma representação de certo sistema ou de uma porção deste. Tanto a linguagem quanto o conteúdo precisam ser contrabalançados e focados na problemática, atentando-se ao escopo a ser atingido. O modelo matemático possui algumas limitações e sua utilização é apropriada caso exista contribuição para o entendimento do fenômeno avaliado (BERTONE; BASSANEZI; DA MOTTA, 2014).

A aquisição de um modelo matemático parte da premissa que há um vocabulário que permita, sem imprecisões, explicar os signos e operações de uma teorização matemática de acordo com palavras que facilitem a compreensão descritiva da problemática analisada e vice-versa. Um dos requisitos essenciais é que as variáveis estejam bem determinadas; * Problematização: caracterização da teoria da problemática em uma linguagem própria do ramo trabalhado. Um problema é uma indagação científica e clara que mostra a correlação entre variáveis ou contextos relativos ao fato. Precisa ser bem particularizada, mostrando exatamente onde se quer chegar (BERTONE; BASSANEZI; DA MOTTA, 2014). Definição de hipóteses: as conjecturas norteiam a investigação e, normalmente, são suposições globais que possibilitam ao estudioso, inferir questões experienciais particularizadas.

As proposições precisam conter um arcabouço teórico que permite testá-las e, assim, promover evolução da própria ciência. Outra vantagem dessas metodologias é que elas permitem encontrar brechas e indicar o caminho para uma possível resolução analítica (SILVA, 2013). Validação: procedimento de anuência ou não do modelo desenvolvido. Nesta fase, o modelo e as conjecturas formuladas, passam por verificação, que consiste em confrontá-los com os dados experimentais, checando a sua validade e previsibilidade com os valores mensurados pelo sistema real. O nível de proximidade necessário é uma condição indispensável para que ele seja aprovado (SILVA, 2013). A modelagem pressupõe, pelo menos, prognosticar os acontecimentos que deram origem ao modelo. O vírus supracitado tem provocado essa doença, que ataca a parte respiratória inferior, denominada, no começo, pelo governo da China, de pneumonia do novo coronavírus.

Esta nomenclatura foi modificada para COVID-19 pela Organização Mundial da Saúde (OMS), da mesma forma, que o nome inicial 2019-nCoV foi substituído por SARS-CoV-2 pelo Comitê Internacional de Taxonomia de Vírus (ICTV - International Committee on Taxonomy of Virus) (YUEN et al. Em fevereiro deste ano, foram confirmados mais de 80 mil casos e cerca de 2700 mortes no mundo inteiro, atingindo o total de 37 países. A OMS tinha revelado, em janeiro, o status de emergência de saúde global. Inicialmente, o epicentro da doença encontrava-se na cidade de Wuhan, na província de Hubei, onde se conjecturava a ideia de que o vírus teria vindo de um animal não conhecido e teria conseguido contaminar o ser humano (WU et al. Evidentemente, o número de mortes pode aumentar em virtude de várias causas, como hospitais superlotados, parcela da população não testada alta, tratamento ineficiente aliada com falta de medicamentos e anestesia, entre outros (YUEN et al.

Ainda não há nenhum medicamento que trate a SARS-CoV-2 ou vacina que permita imunizar a população. Alguns estudos relatam que o remdesivir, remédio usado contra o Ebola, poderia ter eficácia contra a doença. Outras possibilidades para tratamento envolvem arbidol, lopinavir, ritonavir, interferon e fosfato de cloroquina. Entretanto, deve-se considerar os efeitos colaterais do uso desses medicamentos, como: problemas nos rins, arritmia, infecções, urticárias, entre outros (WU et al. Depois disso, a SARS-CoV-2 atingiu todos os estados, obrigando as diversas cidades, a colocarem em funcionamento, estratégias de distanciamento social e até lockdown, que é o confinamento de pessoas em uma área (VASCONCELOS et al. Diante dessa conjuntura, é relevante saber em qual fase da epidemia, cada localidade se encontra, principalmente, onde existe uma taxa muito alta de infectados, ou ainda, regiões com grande possibilidade de surtos.

Essas informações norteiam as ações de governos e instituições de saúde, para a tomada de decisões para combater o vírus. A utilização da modelagem matemática pode ser considerada um instrumento vital para a consecução desse intuito, pois, possibilitam realizar o monitoramento da dinâmica epidêmica, predizendo possibilidades para o seu desenvolvimento. A partir dessa parte, serão elencadas possibilidades de modelos epidemiológicos, alicerçados no conhecimento matemático e em curvas exponenciais, com potencial para explicar os contextos em diversos locais e permitir aferir a probabilidade de contágio futuro (VASCONCELOS et al. Ele parte do pressuposto que a SARS-CoV-2 é uma doença recente, que não possui indivíduos com imunidade, assim, conjectura-se que todas as pessoas são susceptíveis, exceto uma quantidade pequena de infectados.

Importante enfatizar que a quantidade de acometidos pelo vírus, possivelmente, é muito maior do que os casos que foram testados e confirmados. Como conjecturas secundárias, supõe-se que os óbitos graças à doença são tratados a partir de informações internacionais, assim, as mortes não variam por região. Considere um percentual Φ entradas na caixa R de removidos são ligados a óbitos do vírus (LIMA et al. A modelagem matemática utilizada para trabalhar os possíveis cenários é mostrada a partir do diagrama de fluxos que consta na Figura 4, onde cada porção é referente a uma parcela da população da cidade, desse modo, os suscetíveis são chamados de S(t), os expostos E(t), os infectados I(t) e a parcela da população que restaurou a sua saúde ou morreu depois contrair o vírus, é chamada R(t) (LIMA et al.

A modelagem matemática do progresso epidemiológica, como já visto, pode ter a sua fundamentação na resolução de sistemas de equações diferenciais. Este outro modelo também trabalha com a compartimentação de pessoas, correlacionada com a pandemia e cada porção se refere ao grupo de indivíduos: suscetíveis – S, a série de pessoas que se encontram expostas – E, os infectados – I, os que recuperaram – R e os óbitos – D. Outra forma é usar o modelo SEIRD que trabalha com todos os compartimentos acima e acompanha os preceitos matemáticos que modelam a dinâmica da epidemia (VALE, 2020). Os coeficientes α, β, γ, δ e ρ das equações diferenciais e os outros parâmetros de entrada aparecem na Tabela 1 e seus valores divulgados na mídia. Tabela 1: Parâmetros de entrada para o modelo SEIRD Fonte: Vale, 2020 A quantidade inicial de indivíduos suscetíveis terá o valor igual ao da população N, presumida para cada cidade conforme pode ser visto na Tabela 1.

No entanto, caso ações de alívio sejam introduzidas no começo da pandemia, o aumento pode ocorrer de maneira sub-exponencial, isto é, mais devagar do que seria a aceleração exponencial. A probabilidade de um aumento sub-exponencial pode ser percebida a partir de um parâmetro q, que faz a intercala entre a linearidade, com q igual a zero e o exponencial, com q igual a 1, de forma que para valores de q neste intervalo, há a comprovação do aumento sub-exponencial (VASCONCELOS et al. Na parte do meio, a curva da pandemia possui um ponto de inflexão (ponto da curva onde a curvatura muda de sinal), chamado de tc (Figura 7), onde a taxa de aceleração alcança o seu maior valor e passa a desacelerar a partir desse momento.

A parte final da curva, depois da inflexão, tem como característica, o parâmetro α que atua sobre a velocidade em que a curva da pandemia se distancia da linearidade e se curva na direção do platô. O platô, simbolizado pelo parâmetro K, mostra a quantidade de mortes no fim da pandemia (VASCONCELOS et al. Assim, se a curva experimental for maior do que tc, a informação é de que a quantidade de casos por dia, tende a diminuir, começando por esse ponto, pois, o pico da curva por dia já terá acontecido (VASCONCELOS et al. Para os casos em que a curva experimental não aponte um ponto de inflexão, o método de Richards não pode ser utilizado. Assim, pode-se utilizar uma versão simplificada, denominada modelo de crescimento generalizado – MCG, que mostra somente o regime inicial da evolução da pandemia (VASCONCELOS et al.

Ele possibilita mensurar os parâmetros q e r, importantes para a parte inicial da curva da pandemia, fazendo com que haja a definição da dinâmica de aceleração (sub-exponencial ou exponencial). Normalmente, um aumento sub-exponencial pode ser compreendido em decorrência de táticas de intervenção contra a pandemia, pois, o aumento exponencial é esperado na falta de medidas profiláticas de isolamento e contingenciamento social. DIAS, Neylan Leal et al. Predição da propagação do SARS-CoV-2 no Estado do Amapá, Amazônia, Brasil, por modelagem matemática. Revista Científica Multidisciplinar Núcleo do Conhecimento. Ano 05, Ed. Vol. ISSN: 2319-023X. LIMA, Cláudio Márcio Amaral de Oliveira. Informações sobre o novo coronavírus (COVID-19). Radiol. Bras. Modelagem matemática: aplicações das funções exponenciais em um curso de tecnologia.

f. Experiências em Ensino de Ciências V. No. Disponível em: < https://www. br/tiberio/wp-content/uploads/sites/89/2020/05/analise-COVID19-no-Noroeste-Fluminense-v1. pdf >. Acesso em: 31 ago. VASCONCELOS, Giovani L. et al. ZAVALLA, Alessandra Beatriz P. ALMEIDA, Anderson Oliveira de; MESQUITA, Karin A. P. C. Modelagem matemática aplica a fenômenos exponenciais e logarítmicos. SARS-CoV-2 and COVID-19: The most importante research questions. Publicado em: Cell & Biosciense, 16 March 2020. DOI: doi. org/10. s13578-020-00404-4.