SOFTWARE PARA DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM AÇO LAMINADO MADEIRA MACIÇA E CONCRETO ARMADO

Aprovada em _______ de ___________________ __________ Dr. Maykmiller Carvalho Rodrigues UFLA Dr. André Luiz Zangiacomo UFLA Dr. Igor José Mendes Lemes UFLA Me. Wisner Coimbra de Paula UFLA Dr. For its development, computational implementation routines were used in the C++ language with the aid of Visual Studio 2013 software. For DAMC, an easy-to-understand graphical interface was created that is able to perform structural element analysis subjected to Simple Tension, Simple Compression, Simple Bending, Oblique Bending, Shear and Combined Tensions for Rolled Steel and Timber elements, as well as detailing slabs, beams and pillars of reinforced concrete. For Rolled Steel elements, the software is also able to automate the best structural profile, provided with the table of geometric and mechanical properties provided by the company Gerdau, which best suits the requests the user introduces. To validate the design performed by the DAMC, examples of design according to Brazilian standards NBR 8800: 2008, NBR 7190: 1997, NBR 6118: 2014 are presented for structural elements in Rolled Steel, Timber and Reinforced Concrete, respectively.

Therefore, based on the comparison of the results obtained by DAMC with the manual calculations, it can be concluded that the software is a great potential tool for newly graduated students and engineers, capable of performing the desing and automatization of structural elements in rolled steel, timber and reinforced concrete, subject to various types of solicitations. Figura 10 – Detalhamento das armaduras longitudinais. Figura 11 – Detalhamento das armaduras longitudinais em projeto. Figura 12 – Vão efetivo das vigas. Figura 13 – Domínio de deformação do concreto armado. Figura 14 – Equilíbrio de forças e momentos para vigas com armadura simples. Figura 25 – Exemplo de elementos de aço sujeitos a compressão pura. Figura 26 – Exemplo de elementos AL e AA. Figura 27 – Flambagem Local de elementos AL e AA. Figura 28 – Curva única de compressão. Figura 29 – Exemplo de elementos de aço sujeitos a flexão simples.

Figura 41 – Instabilidade lateral por torção de vigas de madeira. Figura 42 – Exemplos de peças de madeira sujeitas a flexão oblíqua. Figura 43 – Interface do software para Lajes de Concreto Armado. Figura 44 – Interface do software para Vigas de Concreto Armado. Figura 45 – Interface do software para Pilares de Concreto Armado. Figura 56 – Resultado DAMC para Vigas de Concreto Armado. Figura 57 – Fluxograma do software para Vigas de Concreto Armado. Figura 58 – Posição e dimensões do pilar analisado. Figura 59 – Projeto Estrutural do Pilar. Figura 60 – Resultado DAMC para Pilares de Concreto Armado. Figura 71 – Barra tracionada. Figura 72 – Resultado DAMC para Elemento de Madeira Tracionado. Figura 73 – Pilar comprimido. Figura 74 – Resultado DAMC para Elemento de Madeira Comprimido. Figura 75 – Resultado DAMC para Elemento de Madeira Comprimido. CONSIDERAÇÕES GERAIS. OBJETIVOS. REFERENCIAL TEÓRICO. CONSIDERAÇÕES NORMATIVAS. NBR 6118:2014 – PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO – PROCEDIMENTO.

VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS MÁXIMAS. DETALHAMENTO. VIGAS DE CONCRETO ARMADO. HIPÓTESES BÁSICAS À FLEXÃO. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO. ESBELTEZ LIMITE DE PRIMEIRA ORDEM. MOMENTOS FLETORES DE SEGUNDA ORDEM. ARMADURA LONGITUDINAL. ESTRIBOS. NBR 8800:2008 – PROJETO DE ESTRUTURAS DE AÇO E DE ESTRUTURAS MISTAS DE AÇO E CONCRETO DE EDIFÍCIOS. MOMENTO DE PLASTIFICAÇÃO. FLAMBAGEM LOCAL. FLAMBAGEM LATERAL COM TORÇÃO. ESFORÇO CORTANTE. BARRAS DE AÇO SOB COMBINAÇÃO DE ESFORÇOS. BARRAS DE MADEIRA SOB COMBINAÇÃO DE ESFORÇOS. FLEXÃO OBLÍQUA. FLEXÃO COMPOSTA RETA. FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA. CISALHAMENTO OBLÍQUO. PROPRIEDADES MECÂNICAS DA MADEIRA. BARRAS DE MADEIRA TRACIONADAS. BARRAS DE MADEIRA COMPRIMIDAS. BARRAS DE MADEIRA FLETIDAS. BARRAS DE MADEIRA SOB COMBINAÇÃO DE ESFORÇOS. Com o passar de décadas, o aparecimento de diversos problemas fez necessário o desenvolvimento de ferramentas avançadas da matemática e computação para solucionar casos mais complexos.

Com isso, ampliou-se o estudo e o conhecimento para outras áreas da mecânica avançada, como Teoria da Elasticidade e a Teoria da Plasticidade. Com a grande evolução da capacidade de processamento computacional e a necessidade por velocidade e qualidade de planejamento e projetos, os softwares passaram a ser ferramentas de uso inevitável para qualquer profissão moderna, o que inclui amplamente os engenheiros estruturais. Dessa forma, durante a graduação nos cursos de engenharia, é importante aprender a utilizar softwares com o intuito de otimizar os trabalhos. Combinando o conhecimento em engenharia estrutural com a capacidade e velocidade de análise dos computadores, diversos softwares foram criados para auxiliar os trabalhos , como por exemplo o Ftool de Martha1, que é extremamente conhecido no ramo da engenharia estrutural. Outro aspecto positivo do concreto armado é o fato do cobrimento6 de concreto, proteger as barras de aço contra a sua corrosão.

Além de outras vantagens como, boa resistência ao fogo, choque e vibrações. Por outro lado, o concreto armado também possui diversos pontos negativos, como a necessidade de fôrmas e escoramentos durante sua fase de construção, em que seu estado fresco não possui qualquer resistência considerável, com isso há um aumento vultoso no custo final da obra. Concretos pré-moldados eliminam esse problema. Outro problema relativo a outros materiais é a sua baixa resistência por unidade volumétrica, o que significa que a razão de resistência por massa específica é a menor dentre os demais materiais aqui citados, por exemplo, sua massa específica fica em torno de 2500 kg/m³ e sua resistência, em projetos mais usuais, podendo haver discrepâncias, entre 25 a 50 MPa.

O aço é o material estrutural com maior resistência, seja para compressão, tração e cisalhamento. Por esse motivo, as seções transversais dos elementos estruturais são bem menores, relativamente aos demais materiais aqui citados. Portanto, sua utilização é mais adequada em obras que necessitam vencer grandes vãos, como ginásios, supermercados, galpões e hangares. Além disso, devido ao peso total da estrutura ser relativamente pequeno, há um alívio considerável de tensões nos elementos geotécnicos como, as fundações e o maciço do solo. Outro ponto positivo é a sua elevada ductilidade. Por prevenção, caso necessário, é imperioso a execução de pintura e galvanização de sua superfície para proteção contra a corrosão. Embora o aço seja um material incombustível, suas principais propriedades mecânicas são perdidas valiosamente em situações de elevadas temperaturas.

Seu módulo de elasticidade10 e tensão de escoamento são drasticamente reduzidas, o que se não previsto em projeto, pode levar a ruptura iminente da estrutura, devido ao aparecimento de zonas plásticas, o que reduz graus de hiperestaticidade global da estrutura. Como solução, é necessário fazer a proteção do aço, impedindo ou reduzindo a taxa de calor incidindo ao mesmo. Materiais como gesso, fibras minerais ou produtos cerâmicos são bastante apropriados. Coníferas: da classe Gimnosperma, de crescimento rápido como pinheiros. em que a mesma será construída. Assim como o concreto, as madeiras sofrem com retração ou inchamento com a variação da umidade. Por fim, segundo PFEIL (2003), um cuidado assaz ponderoso que se deve ter, é a proteção contra ao ataque de fungos, cupins, moluscos e crustáceos, que se instalam e se alimentam de seus produtos.

Tais ataque dependem da camada do tronco de onde a madeira foi extraída, da sua espécie e das condições ambientais. Gretas: separação entre anéis do tronco. Abaulamento: encurvamento na direção da largura. Arqueadura: encurvamento da direção longitudinal. Fibras reversas: fibras não paralelas ao eixo da peça, normalmente em proximidade aos nós. No contexto das estruturas, o desenvolvimento de projetos requer bastante planejamento, conhecimento e tempo. Objetivo O objetivo deste trabalho foi desenvolver um software de automatização do dimensionamento de elementos estruturais de Aço Laminado, Madeira Maciça e Concreto Armado denominado DAMC (Dimensionamento Aço, Madeira e Concreto), além de elaborar um material didático para auxílio na realização dos cálculos segundo as recomendações das normas brasileiras para projetos estruturais.

REFERENCIAL TEÓRICO 16 Para informatizar o dimensionamento das estruturas, PRADO (2012) desenvolveu uma ferramenta computacional para pré-processamento para análise avançada de estruturas, denominada CS-ASA Preprocessor. A qual auxilia o projetista na análise de estruturas sujeitas a ações estáticas e dinâmicas avançadas. O software realiza, por meio do método dos elementos finitos (MEF), modelagem estrutural, como definir a malha que descreve o elemento, suas condições de contorno, os carregamentos atuantes, entre outros, e gera como resultado arquivos de dados que contêm as informações necessárias para entrada de dados do software mãe, denominado CS-ASA (Sistema Computacional para Análise Avançada Estática e Dinâmica de Estruturas de Aço). MACIEL (2012), realizou um estudo de equilíbrio e estabilidade de estruturas restritas por bases elásticas, como o solo.

COELHO e DOMINICINI (2014), desenvolveram um software didático de análise e dimensionamento de vigas bi apoiadas de concreto protendido por meio do software Visual Basic do ambiente da Microsoft Excel. Para a obtenção dos resultados, o autor partir das seguintes etapas: definição das propriedades geométricas, definição do nível de protensão e da classe de agressividade ambiental, pré-dimensionamento por meio dos E. L. S. escolha da bitola dos cabos, definição do feixe de passagem dos cabos, cálculo das perdas e verificação final para os Estados Limites Últimos e de Serviço. Por fim, demonstrou-se a importância de considerar os momentos mínimos em pilares de centro, pois os momentos transmitidos ao pilar podem ser desprezíveis, e a necessidade de softwares para o auxílio das análises e dimensionamento estruturais.

CASS (2015), desenvolveu um estudo do efeito da protensão em estruturas de lajes lisas e vigas de concreto. O autor vinculou ao software CALCO sua rotina computacional, que analisa os esforços e deslocamento de pavimentos de concreto por meio da grelha equivalente. Além disso, sua rotina permitiu ao usuário do programa introduzir cabos de protensão curvos na grelha para criar faixas de protensão. Assim, o software transforma as ações de protensão em esforços nodais equivalentes, facilitando a obtenção dos esforços internos da estrutura. Em seu texto, além de demonstrar que os resultados são confiáveis, os autores apresentaram o resultado de um questionário que mostra o qual importante é a utilização de softwares para o aprendizado dos alunos.

OLIVEIRA et al. desenvolveu um software para predição de esforços na estrutura de silos. Por meio da linguagem computacional Delphi 7. os autores criaram um programa que simulam as pressões internas em silos, dividindo-o em várias seções menores, em função de suas dimensões. Diferentemente das lajes nervuradas, onde em certos pontos definidos em projetos, o concreto armado é substituído por um material mais leve, afim de diminuir o peso total da estrutura. Contudo, a laje maciça tem uma qualidade que as lajes nervuradas não possuem igualmente, como o aumento da rigidez global da estrutura, diminuindo os deslocamentos laterais que a última pode ter devido a ações do vento. As lajes maciças são usualmente mais utilizadas em edifícios de múltiplos andares, muros de arrimo, escadas, reservatórios, hospitais, pontes, etc.

E suas espessuras variam normalmente entre 7 cm a 16 cm. Lajes protendidas podem sair dessa média, contudo elas não serão tratadas nesse texto. Vão efetivo Os valores dos vãos efetivos da laje 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦 são obtidos da seguinte maneira, considerando os apoios suficientemente fixos. a) onde: 𝑎≤{ 𝑡/2 0,3ℎ (3. b) sendo: Figura 3 – Vão efetivo das lajes Fonte: Do Autor (2019) 3. Condições de contorno Os vínculos da laje com as suas bordas, influenciam nos valores dos esforços e deslocamentos que a mesma é solicitada. Os esforços e as deformações nas lajes são calculados analisando a laje como uma placa e resolvendo a Equação 3. Figura 4 – Condições de contorno das lajes 23 Fonte: Adaptado de BARES (1972) 3. Ações externas As lajes podem receber diversas naturezas de carregamentos, desde pessoas até equipamentos fixos, móveis, paredes, água, solo, máquinas, etc.

Em edifícios, as lajes são analisadas e dimensionadas a suportar ações normais ao seu plano, sendo que para as ações laterais, as mesmas tendem a atuarem como diafragmas rígidos, distribuindo de maneira aproximada os esforços horizontais para as estruturas de contraventamento e para os pilares. As ações mais comuns em lajes são as seguintes:  Peso próprio, para o peso específico com concreto armado, a NBR 6118:2014, indica o valor de 25 kN/m³. A carga superficialmente distribuída sobre a laje pode ser calculada como: 𝑔𝑃𝑃 = 𝛾𝑐𝑜𝑛𝑐 ℎ𝑙𝑎𝑗𝑒  (3. Além das ações permanentes citadas acima, deve-se considerar as ações variáveis, também conhecidas como “Ações acidentais”. As ações acidentais estão presentes na NBR 6120:1980. Espessura mínima A NBR 6118:2014 apresenta as seguintes limitações de espessura mínima para as possíveis aplicações da laje maciça.

 7 cm para cobertura não em balanço;  8 cm para lajes de piso não em balanço;  10 cm para lajes em balanço (devendo adicionar o coeficiente 𝛾𝑛 para lajes inferiores a 19 cm de espessura);  10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN.  12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior a 30 kN. Os domínios de deformação que a NBR 6118:2014 apresenta são os seguintes: Figura 6 – Domínio de deformação do concreto armado Fonte: BASTOS (2015). Para lajes, o domínio de deformação mais provável e comum de se encontrar em projetos é o domínio 2, devendo respeitar também a condição de ductilidade que a NBR 6118:2014 apresenta, sendo essa condição expressa pela Equações 3. Para concreto C20 até C50 𝛽𝑥 = 𝑥 ≤ 0,45 𝑑 (3.

a) 𝛽𝑥 = 𝑥 ≤ 0,35 𝑑 (3. b) Para concreto C55 até C90 sendo: 𝑥: Altura da linha neutra; 𝑑: Altura útil da seção; 27 3. Caso a laje seja armada em uma direção, a análise é a mesma da Figura 5. A NBR 6118:2014 prescreve que as reações em cada apoio das lajes podem ser determinadas por meio das charneiras plásticas apresentado na Figura 8. Figura 8 – Áreas de influência em função das condições de contorno das lajes Fonte: Adaptado de BASTOS (2015) De maneira semelhante, com os coeficientes 𝜈, é possível obter os esforços cortante solicitantes e as reações de apoio, por meio da Equação 3. sendo: 𝑉: Esforço cortante solicitante (kN/m); ν: Coeficiente tabelado de BARES em função da Equação 3. 𝜈𝑥 𝑒 𝜈𝑦 : Coeficiente para os esforços cortantes sobre os apoios atuantes nas direções paralelas a 𝑙𝑥 𝑒 𝑙𝑦 , respectivamente; 𝜈′𝑥 𝑒 𝜈′𝑦 : Coeficiente para os esforços cortantes sobre os engastes atuantes nas direções paralelas a 𝑙𝑥 𝑒 𝑙𝑦 , respectivamente; 𝑞: Esforço solicitante (kN/m²); 𝑙𝑥 : Menor vão efetivo da laje (m).

Verificação das flechas máximas Além dos Estados Limites Últimos já apresentado, a NBR 6118:2014 define como um dos Estados Limite de Serviços as deformações excessivas das lajes, denominado de ELS-DEF. A NBR 6118:2014 recomenda que sejam usados os critérios para deformações máximas 30 considerando a possibilidade de fissuração no estádio II. Portanto, para verificar qual estádio a estrutura se encontra, deve-se comparar o momento de início de fissuração, obtido pela combinação rara de ações, com o momento resistente à tração do concreto, dado por: 𝑀𝑟 = 𝛼𝑓𝑐𝑡 𝐼1 ℎ − 𝑥1 (3. sendo: 𝑀𝑟 : Momento fletor resistente no Estádio I; 𝑓𝑐𝑡 : Tensão resistente à tração do concreto, para formação de fissuras 𝑓𝑐𝑡 = 0,7𝑓𝑐𝑡,𝑚 ; 2 𝑓𝑐𝑡,𝑚 : Para concreto C20 até C50 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘 3 [𝑀𝑃𝑎]; 𝑓𝑐𝑡,𝑚 : Para concreto C55 até C90 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12ln(1 + 0,11𝑓𝑐𝑘 ) [𝑀𝑃𝑎]; 𝐼1 : Momento de inercia da seção bruta, no Estádio I, dado na Equação 3.

a; 𝑥1 : Distância da linha neutra até a fibra mais tracionada, no Estádio I, dado na Equação 3. b) 𝐼2 = onde: 𝑏𝑤 ℎ² + (𝛼𝑒 −1)𝐴𝑠 𝑑 𝑥1 = 2 𝑏𝑤 ℎ + (𝛼𝑒 −1)𝐴𝑠 𝑥2 = (3. c) −𝛼𝑒 𝐴𝑠 + √(𝛼𝑒 𝐴𝑠 )2 + 2𝑏𝑤 𝛼𝑒 𝐴𝑠 𝑑 𝑏𝑤 (3. d) 𝐸𝑠 𝐸𝑐 (3. e) 𝛼𝑒 = Com o momento de inércia obtido a partir da Equação 3. a flecha imediata é dada a seguir. a. a) 𝛼𝑓 = ∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡0 ) (3. b) onde: sendo: 𝛿𝑡 : Flecha diferida; 𝛿𝑖 : Flecha imediata; 𝜉: Coeficiente de fluência em função do tempo (Tabela 17. da NBR 6118:2014); Para verificar se o valor de flecha obtido pela Equação 3. a atende as recomendações normativas, deve-se obedecer a seguinte relação: 𝛿𝑡 ≤ 𝛿𝑚𝑎𝑥 (3. b) sendo: Ф𝑙 : Diâmetro da armadura longitudinal; Ф𝑏𝑟𝑖𝑡𝑎 : Maior diâmetro nominal da brita. O comprimento de ancoragem das barras deve ser calculado por: 𝑙𝑏 = onde: Ф𝑙 𝑓𝑦𝑑 4 𝑓𝑏𝑑 (3. a) (3. b) (3. c) (3. O espaçamento necessário das armaduras é dado por: 𝑠= 𝐴𝑠 𝐴𝑠1 (3. sendo: 𝑠: Espaçamento das armaduras; 𝐴𝑠 : Área de aço necessário, dado pela Equação 3.

c; 𝐴𝑠1 : Área de uma barra de aço, dado por: 𝐴𝑠1 = 𝜋Ф𝑙 ² 4. Após verificado se o espaçamento necessário atende as Equações 3. O detalhamento final pode ser feito da seguinte maneira, conforme ilustrado na Figura 10 e 11. Devendo satisfazer as condições de equilíbrio, compatibilidade e de ductilidade;  Análise por meio de elementos físicos: o comportamento da estrutura é determinado por meio de ensaios realizados com modelos físicos de concreto armado ou protendido, considerando as possíveis semelhanças mecânica entre o protótipo e a realidade. Para obter o valor do vão efetivo da viga 𝑙𝑒𝑓 para as análises acima, deve-se seguir a Equação 3. Após a obtenção dos esforços internos por meio das análises acima, é possível verificar se todas as considerações normativas foram atendidas.

a) onde: 𝑎≤{ 𝑡/2 0,3ℎ (3. b) As dimensões citadas na Equação 3. a) Equilíbrio de Momentos 𝑀𝑑 = 𝜆𝛽𝑥 𝑑²𝑏𝑤 𝛼𝑓𝑐𝑑 (1 − 𝜆𝛽𝑥 ) 2 (3. b) sendo: 𝑀𝑑 : Momento fletor solicitante de cálculo; 𝑓𝑐𝑑 : Tensão resistente de cálculo à compressão do concreto; 𝜆: Coeficiente ajuste da linha neutra, transformando a distribuição de tensões parábola-retângulo do concreto em uniforme; 𝛼: Coeficiente de ajuste devido ao efeito Rusch do concreto; 𝑑: Altura útil da seção; 𝑏𝑤 : Base da seção de concreto; 𝛽𝑥 : Linha neutra adimensional; 𝑓𝑦𝑑 : Tensão resistente de cálculo ao escoamento do aço; 𝐴𝑠 : Área de aço. Tendo 𝛽𝑥 e 𝐴𝑠 como incógnitas, é possível por meio dessas duas equações obter a área de aço necessária. A área de aço é então calculada pela seguinte equação: 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝜆𝛽 𝑓𝑦𝑑 𝑑 (1 − 2𝑥 ) (3. c) Figura 14 – Equilíbrio de forças e momentos para vigas com armadura simples Fonte: Do Autor (2019) 3.

e a Figura 15 ilustram melhor. Figura 15 – Seção da viga com armadura dupla Fonte: Do Autor (2019) 42 𝑀𝑑 𝑙𝑖𝑚 = 𝜆𝛽𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑑²𝑏𝑤 𝛼𝑓𝑐𝑑 (1 − 𝐴𝑠1 = 𝜆𝛽𝑥 𝑙𝑖𝑚 ) 2 (3. a) 𝑀𝑑 𝑙𝑖𝑚 𝜆𝛽 𝑓𝑦𝑑 𝑑 (1 − 𝑥2𝑙𝑖 𝑚 ) (3. b) 𝑀𝑑 − 𝑀𝑑 𝑙𝑖𝑚 𝑓𝑦𝑑 (𝑑 − 𝑑′) (3. c) 𝐴𝑠2 = 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 𝐴𝑠 ′ = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑑 𝑙𝑖𝑚 𝜎𝑠 ′(𝑑 − 𝑑′) (3. A primeira verificação a ser feita é a resistência das bielas comprimidas de concreto, dado por: 𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 (3. a) onde: 𝑉𝑅𝑑2 = 0,27𝛼𝑣2 𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 𝑑 𝛼𝑣2 = 1 − 𝑓𝑐𝑘 , 𝑓 𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎 250 𝑐𝑘 (3. b) (3. c) sendo: 𝑉𝑆𝑑 : Esforço cortante solicitante de cálculo; 𝑉𝑅𝑑2: Esforço cortante resistente de cálculo devido a compressão das bielas; 𝑓𝑐𝑑 : Tensão resistente de cálculo à compressão do concreto; 𝑓𝑐𝑘 : Tensão resistente característica à compressão do concreto; 𝑏𝑤 : Base da seção de concreto; 𝑑: Altura útil da seção; Caso a verificação da Equação 3. a não seja atendida, deve-se redimensionar as dimensões da seção transversal da viga, pois não é possível reforçar a compressão das bielas com as armaduras transversal. Caso todas as considerações não puderem ser atendidas simultaneamente, a NBR 6118:2014 permite a redução da solicitação dos esforços cortante próximos aos pilares.

Dessa forma, o valor a ser adotado deve ser aquele obtido do diagrama de esforço cortante, a uma distância de 𝑑/2 da face do apoio. Essa redução só se aplica para o cálculo dos estribos, na Equação 3. b, não sendo permito na Equação 3. a. contudo a seção estará com dimensões excessivas, visto que o concreto sozinho resiste as tensões de tração, o que não é econômico nem viável. Abertura de Fissuras Caso haja a formação de fissuras, é necessário verificar se a abertura das mesmas não ultrapassa as aberturas limites normativas, as quais são apresentadas na Tabela 4: Tabela 4 – Aberturas limites de fissuras Tipo de Classe de agressividade concreto ambiental Concreto Armado Abertura limite CAA I 𝑤𝑘 ≤ 0,4 𝑚𝑚 CAA II e CAA III 𝑤𝑘 ≤ 0,3 𝑚𝑚 CAA IV 𝑤𝑘 ≤ 0,2 𝑚𝑚 Combinação de ações a se utilizar Combinação frequente de Fonte: Adaptado da NBR 6118 (2014) ações 47 O tamanho da abertura de fissuras 𝑤 determinado para cada região, apresentada na Figura 16, é dado pela Equação 3.

sendo: Ф𝑙 : Diâmetro da armadura longitudinal; 𝜂1 : Dado pela Equação 3. b; 𝜎𝑠𝑖 : Tensão na armadura analisada, pela combinação frequente de ações, dado na Equação 3. a; 𝐸𝑠 : Módulo de elasticidade longitudinal do aço; 2 𝑓𝑐𝑡,𝑚 : Para concreto C20 até C50 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘 3 [𝑀𝑃𝑎]; 𝑓𝑐𝑡,𝑚 : Para concreto C55 até C90 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12ln(1 + 0,11𝑓𝑐𝑘 ) [𝑀𝑃𝑎]; 𝐴 𝜌𝑐𝑟 : Taxa de armadura dentro da região analisada, dado por: 𝜌𝑐𝑟 = 𝐴𝑠𝑖. para o momento fletor mínimo, dado por: 𝑀𝑑 𝑚𝑖𝑛 = 0,8𝑊0 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 (3. a) onde: 𝑊0 = 𝑏𝑤 ℎ 6 (3. b) sendo: 𝑀𝑑 𝑚𝑖𝑛 : Momento fletor mínimo; 𝑏𝑤 : Base da seção de concreto; ℎ: Altura total da seção; 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3𝑓𝑐𝑡,𝑚 ; 2 𝑓𝑐𝑡,𝑚 : Para concreto C20 até C50 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘 3 [𝑀𝑃𝑎]; 𝑓𝑐𝑡,𝑚 : Para concreto C55 até C90 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12ln(1 + 0,11𝑓𝑐𝑘 ) [𝑀𝑃𝑎]. Em vigas muito altas, existe a possibilidade de instabilidade lateral do estribo, devido a sua elevada esbeltez. Afim de evitar isso, a NBR 6118:2014 recomenda a utilização de barras longitudinais no contorno lateral do estribo, denominada armadura de pele.

a) (3. b) sendo: 𝛿𝑖 : Flecha imediata; 𝛿𝑖 : Flecha diferida; 𝐸𝑐𝑠 𝐼𝑒𝑞 : Rigidez da viga à flexão; 𝛼: Coeficiente de proporcionalidade devido a análise da linha elástica. Todo o processo de obtenção dos dados não aqui mostrados, estão apresentados no Item 3. O detalhamento longitudinal de vigas de concreto está apresentado na Figura 18. Figura 18 – Detalhamento de vigas de concreto armado Fonte: Do Autor (2019) 53 3. A área mínima de concreto e sua menor dimensão são: 54 𝐴𝑐 𝑚𝑖𝑛 = 360𝑐𝑚² (3. a) 𝑏 = 14 (3. b) Em pilares com espessura entre 14 cm a 19 cm, é necessário aumentar o esforço axial solicitante, como mostrado na Tabela 9 e na Equação 3. Tabela 9 – Coeficiente adicional 𝛾𝑛 em função da menor dimensão b do pilar b (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 𝛾𝑛 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 Fonte: Adaptado da NBR 6118 (2014) 𝑁𝑆𝑑 = 𝛾𝑛 𝑁𝑑 (3. a) 𝑀𝑆𝑑 = 𝛾𝑛 𝑀𝑑 (3. a) 𝐼 𝐴 (3. b) onde: 𝑟=√ assim para seções retangulares 𝜆= √12𝑙𝑒𝑞 ℎ (3. c) sendo: 𝜆: Índice de esbeltez; 𝑟: Raio de giração; ℎ: Altura total da seção na direção analisada; 𝐼: Momento de inércia da seção na direção analisada; 𝐴: Área total da seção; 𝑙𝑒𝑞 : Comprimento de flambagem.

Em função do índice de esbeltez, a NBR 6118:2014 divide em quatro classificações de pilares, como: 57  Curto: se 𝜆 ≤ 35;  Médio: se 35 < 𝜆 ≤ 90;  Medianamente esbelto: se 90 < 𝜆 ≤ 140;  Esbelto: se 140 < 𝜆 ≤ 200. Não é permitido pilares de concreto armado com 𝜆 > 200, os pilares curtos e médios são os mais comuns na maioria das edificações, sendo os medianamente esbeltos e os esbeltos bem mais raros. b) sendo: 𝑒𝑐𝑐 : Excentricidade devido a fluência do concreto; 𝑒𝑎 : Excentricidade acidental; 𝑀𝑆𝑔 : Momento fletor devido à combinação quase-permanente; 𝑁𝑆𝑔 : Esforço axial devido à combinação quase-permanente; 𝑁𝑒 : Carga crítica de flambagem; 𝑙𝑒 : Comprimento de flambagem; 𝐼𝑐 : Momento de inércia do concreto na direção analisada; 𝐸𝑐𝑖 : Módulo de elasticidade tangente do concreto. Momento fletor mínimo A NBR 6118:2014 apresenta como medida de prevenção a imperfeições locais nos pilares a consideração do momento fletor mínimo de 1ª ordem, que é dado pela Equação 3.

sendo: 𝑀1𝑆𝑑 𝑚𝑖𝑛 : Momento fletor mínimo de 1ª ordem; 𝑁𝑆𝑑 : Esforço axial de cálculo; ℎ: Altura total da seção na direção analisada, em metros; 3. Esbeltez limite de primeira ordem A excentricidade de 2ª ordem tem função de amplificar os esforços internos do pilar com intuito de dimensiona-lo para ter capacidade de impedir a ocorrência da flambagem. Para 59 verificar se o pilar necessita a análise de segunda ordem deve-se calcular o valor da esbeltez limite de primeira ordem 𝜆1 , dado na Equação 3. a) (3. b) 60 𝑀𝑆𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 : Momento fletor de cálculo total atuante; 𝑀1𝑆𝑑 : Momento fletor de cálculo de 1ª ordem, dado pelo maior entre a Figura 19 e a Equação 3. 𝑁𝑆𝑑 : Esforço axial de cálculo; 𝑙𝑒 : Comprimento de flambagem; ℎ: Altura total da seção na direção analisada; 𝐴𝑐 : Área de concreto da seção transversal do pilar; 𝑓𝑐𝑑 : Tensão resistente de cálculo à compressão do concreto; 𝛼𝑏 = 1,0: Levando em consideração o pior caso possível.

Armadura longitudinal Com os esforços solicitantes calculados, o dimensionamento das armaduras dos pilares pode ser feito. A maneira mais usual entre os profissionais da área é a utilização de ábacos para flexão composta. f) 𝜈= 𝑁𝑆𝑑 ℎ𝑏𝑤 𝛼𝑓𝑐𝑑 (3. g) Por fim, obtêm-se assim a área de aço necessária para um lado do pilar, isolando 𝐴𝑠 da Equação 3. e. h) sendo: 𝑀𝑆𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 : Momento fletor de cálculo total atuante; 𝑁𝑆𝑑 : Esforço axial de cálculo; 𝑓𝑐𝑑 : Tensão resistente de cálculo à compressão do concreto; 𝛼: Coeficiente de ajuste devido ao efeito Rusch do concreto; ℎ: Altura total da seção; 𝑑: Altura útil da seção; 𝑑′: Distância do centro geométrico das armaduras comprimidas até a fibra mais comprimida da seção; 𝑏𝑤 : Base da seção de concreto; 𝐴𝑠 : Área de aço das armaduras de um lado do pilar; 𝜎𝑠 : Tensão nas armaduras menos comprimidas; 𝜎𝑠 ′: Tensão nas armaduras mais comprimidas.

Além disso, a NBR 6118:2014 limita a área de aço máxima em relação a área de concreto, dado na Equação 3. b) sendo: 𝑀0 : Momento fletor de cálculo que anula a tensão normal de compressão na borda da seção tracionada devido ao 𝑀𝑆𝑑,𝑚á𝑥 ; 𝑀𝑆𝑑,𝑚á𝑥 : Máximo momento fletor de cálculo solicitante no trecho analisado. Essa modificação para o valor de 𝑉𝑐0 se dá pelo fato de o pilar estar sujeito à elevadas ações de compressão, o que diminui a intensidade das fissuras e das tensões de tração devido ao esforço cortante solicitante. Por fim, deve-se verificar o máximo espaçamento longitudinal e transversal dos estribos dado por: 20 𝑐𝑚 𝑠𝑙 ≤ { 24Ф𝑙 𝑏 (3. a) 𝑠𝑡 ≤ 20Ф𝑡 (3. b) sendo: 𝑠𝑙 : Espaçamento longitudinal entre os estribos; 𝑠𝑡 : Espaçamento transversal entre as pernas do estribo; Ф𝑙 : Diâmetro da armadura longitudinal; Ф𝑡 : Diâmetro do estribo; 𝑏: Menor dimensão do pilar.

Limitação de Esbeltez As barras de aço tracionadas não estão suscetíveis a instabilidade, contudo a NBR 8800:2008 limita o valor do índice de esbeltez da peça em 300, como mostrado na Equação 3. sendo: 𝜆: índice de esbeltez da peça; 𝑘𝐿: comprimento de flambagem da peça; 𝑟: raio de giração. Embora, a esbeltez da peça seja grandemente influente do comportamento da peça a compressão, devido ao fato dela intensificar a instabilidade lateral e o aumento da curvatura da peça. Para esforços de tração, esse problema não acontece, graças ao esforço tendem a retificar o elemento. Contudo é recomendado a limitação de sua esbeltez para que o elemento não fique excessivamente flexível, o que aumentaria a sua deformação e choques durante seu transporte e para evitar que haja grandes vibrações devido a ações transversais.

A NBR 8800:2008 tem como critério de segurança para ruptura da seção líquida a seguinte Equação 3. onde: 𝐴𝑒𝑓 = 𝐶𝑡 𝐴𝑛 𝐴𝑛 = 𝐴𝑔 − (∑ 𝑑 − ∑ (3. a) 𝑠² )𝑡 4𝑔 (3. b) sendo: 𝑁𝑡𝑅𝑑 : Força resistente de cálculo a tração; 𝐴𝑛 : área líquida da seção transversal; 𝐴𝑒𝑓 : área efetiva da seção transversal; 𝑓𝑢 : tensão de ruptura do aço; 𝛾𝑎2 : coeficiente de segurança à ruptura; 𝐶𝑡 : coeficiente de redução da área líquida; 𝑏: largura total da chapa analisada; 𝑡: espessura total da chapa analisada; ∑ 𝑑: somatório dos diâmetros na linha dos furos da chapa analisada; 𝑠: espaçamento entre dois furos da linha diagonal, na direção paralela à força de tração (Figura 24); 𝑔: espaçamento entre dois furos da linha diagonal, na direção perpendicular à força de tração (Figura 24). Figura 24 – Linhas de ruptura para furações não uniforme Fonte: Do Autor (2019) 68 A obtenção da área líquida da peça tracionada deve ser calculada para todas as possíveis linhas de ruptura, prevalecendo o menor de todos os valores.

Tal valor foi definido a partir de experiências profissionais, práticas construtivas e estudos teóricos de seu comportamento. Flambagem local Os elementos que formam os perfis estruturais de aço geralmente são planos e apoiados em uma ou em duas bordas. Os elementos apoiados em uma borda e livre na outra, são denominados elementos AL (apoiado-livre). Os elementos apoiados em ambas bordas são denominados elementos AA (apoiado- apoiado). A Figura 26 ilustra tais elementos em quatro tipos de perfis mais usuais. Com a largura efetiva do elemento AA calculada, é possível agora obter a área efetiva do perfil de aço comprimido e o fator de redução da resistência axial a compressão devida o elemento AA, 𝑄𝑎 , pelas seguintes equações. a) (3. b) sendo: 𝐴𝑒𝑓 : área efetiva do perfil; 𝐴𝑔 : área bruta do perfil; 𝑄𝑎 : coeficiente de redução da resistência à compressão devido a flambagem local dos elementos AA.

Os elementos AL também possuem resistência após a flambagem, embora seja menos significativa que a dos elementos AA. Como já explicado, caso a esbeltez do elemento AL não for superior que a limite, Tabela 10 acima, não ocorrerá flambagem local e o colapso se dá pelo escoamento do aço. Sendo possível descreve-la pelas Equações 3. a e 3. b. Figura 28 – Curva única de compressão Fonte: Adaptado de FAKURY (2016) 74 Para 𝜆 ≤ 1,5 𝜒 = 0,658𝜆0 ² (3. a) Para 𝜆 > 1,5 𝜒= 0,877 𝜆0 ² (3. Nota-se que quando os fatores 𝜒 e 𝑄 forem iguais a 1,0 a resistência a compressão do aço é mesma que a de tração, isso é possível para elementos com comprimento baixo. Caso o fator 𝜒 seja 1,0 e o fator 𝑄 menor que 1,0, o elemento é dominado pelo estado limite último de flambagem local, caso o inverso por flambagem global.

Caso ambos menores que 1,0 ocorre uma combinação de ambos, notando que o fator 𝜒 é função do fator 𝑄. Barras de Aço Fletidas Nesse texto são estudadas as barras de aço submetidas a flexão reta simples devido a cargas estáticas. As vigas são os principais elementos que estão sujeitas a flexão simples, elas têm a função de suportar o momento fletor e ao esforço cortante além de transmitir as cargas 76 para os pilares e outras vigas. 𝑀𝑝𝑙 = (𝐴𝑐 𝑦𝑐 + 𝐴𝑡 𝑦𝑡 )𝑓𝑦 = 𝑍𝑓𝑦 sendo: 𝑀𝑝𝑙 : Momento fletor de plastificação; 𝐴𝑐 : Área comprimida da seção transversal (conforme Figura 32); (3. 𝐴𝑡 : Área tracionada da seção transversal (conforme Figura 32); 𝑦𝑐 : Centro geométrico da área comprimida da seção transversal (conforme Figura 32); 𝑦𝑡 : Centro geométrico da área tracionada da seção transversal (conforme Figura 32); 𝑍: Módulo plástico da seção transversal; 𝑓𝑦 : tensão de escoamento do aço.

Figura 32 – Forças de compressão e tração na seção plastificada Fonte: Do Autor (2019) 3. Flambagem local De maneira análoga a apresentada no Item 3. os elementos AL e AA que absorvem as tensões de compressão podem ter a possibilidade de ocorrerem a flambagem local dos mesmos elementos. b) 1 0,69𝐸 𝑊 𝛾𝑎1 𝜆² (3. c) 𝑀𝑅𝑑 = Para 𝜆𝑝 < 𝜆 ≤ 𝜆𝑟 𝑀𝑅𝑑 = Para 𝜆 > 𝜆𝑟 𝑀𝑅𝑑 = sendo: 𝑀𝑅𝑑 : Momento fletor resistente de cálculo; 𝑊: Módulo elástico da seção transversal; 𝑍: Módulo plástico da seção transversal; 𝐸: Módulo de elasticidade longitudinal do aço; 𝑓𝑦 : tensão de escoamento do aço; 81 𝜎𝑟 : tensão residual; 𝛾𝑎1 : coeficiente de segurança ao escoamento. Tal equacionamento não se aplica para vigas de alma esbelta (𝜆𝑎𝑙𝑚𝑎 > 𝜆𝑟,𝑎𝑙𝑚𝑎 ). Os valores de esbeltez dos elementos AL e AA estão apresentados na Tabela 13 e Tabela 14. Tabela 13 – Valores de esbeltez para elementos AL e AA para perfis I e H Eixo de Flexão 𝜆 FLM 𝑏𝑓 2𝑡𝑓 0,38√ 𝐸 𝑓𝑦 FLA ℎ0 𝑡𝑤 3,76√ 𝐸 𝑓𝑦 FLM 𝑏𝑓 2𝑡𝑓 0,38√ 𝐸 𝑓𝑦 FLA ℎ0 𝑡𝑤 1,12√ 𝐸 𝑓𝑦 Seções I e H com duas simetrias, 𝜆𝑝 Flambagem local 𝜆𝑟 0,83√ 𝐸 0,7𝑓𝑦 fletidas em relação ao eixo de maior inércia Seções I e H com duas simetrias 𝐸 5,70√ 𝑓𝑦 0,83√ 𝐸 0,7𝑓𝑦 fletidas em relação ao eixo de menor inércia 𝐸 1,40√ 𝑓𝑦 Fonte: Adaptado de FAKURY (2016) Tabela 14 – Valores de esbeltez para elementos AL e AA para perfis U 𝜆𝑝 Eixo de Flexão Flambagem local 𝜆 𝜆𝑟 Seções U fletidas FLM 𝑏𝑓 𝑡𝑓 0,38√ 𝐸 𝑓𝑦 de maior inércia FLA ℎ0 𝑡𝑤 3,76√ 𝐸 𝑓𝑦 Seções U fletidas FLM 𝑏𝑓 𝑡𝑓 0,38√ 𝐸 𝑓𝑦 FLA ℎ0 𝑡𝑤 1,12√ 𝐸 𝑓𝑦 0,83√ 𝐸 0,7𝑓𝑦 em relação ao eixo 𝐸 5,70√ 𝑓𝑦 0,83√ 𝐸 0,7𝑓𝑦 em relação ao eixo de menor inércia 𝐸 1,40√ 𝑓𝑦 Fonte: Adaptado de FAKURY (2016) Assim, toda a análise de flambagem local da mesa comprimida e da alma de vigas de aço laminado sujeitas a flexão, está concluída.

c) 𝑀𝑅𝑑 = Para 𝜆𝑝 < 𝜆 ≤ 𝜆𝑟 𝑀𝑅𝑑 = Para 𝜆 > 𝜆𝑟 𝑀𝑅𝑑 = 83 onde: 𝐶𝑏 = 12,5𝑀𝑀á𝑥 ≤ 3,0 2,5𝑀𝑀á𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 3𝑀𝐶 (3. d) sendo: 𝑀𝑅𝑑 : Momento fletor resistente de cálculo; 𝑀𝐴 : Momento fletor solicitante de cálculo, em 𝐿𝑏 /4; 𝑀𝐵 : Momento fletor solicitante de cálculo, em 𝐿𝑏 /2; 𝑀𝐶 : Momento fletor solicitante de cálculo, em 3𝐿𝑏 /4; 𝑀𝑀á𝑥 : Maior momento fletor solicitante de cálculo, em módulo; 𝑊: Módulo elástico da seção transversal; 𝑍: Módulo plástico da seção transversal; 𝐶𝑤 : constante de empenamento; 𝐽: constante de torção; 𝐿𝑏 : comprimento destravado; 𝐶𝑏 : fator de modificação devido a não uniformidade do diagrama de momento fletor (por segurança é possível adotar 1,0); 𝜎𝑟 : tensão residual; 𝐸: Módulo de elasticidade longitudinal do aço. Os valores de esbeltez para FLT estão apresentados na Tabela 15. Tabela 15 – Valores de esbeltez para FLT 𝜆𝑝 𝜆 𝐿𝑏 𝑟𝑦 1,76√ 𝜆𝑟 𝐸 𝑓𝑦 1,38√𝐼𝑦 𝐽 𝑟𝑦 𝐽𝛽1 √1 + √1 + 27𝐶𝑤 𝛽1 ² 𝐼𝑦 Fonte: Adaptado de FAKURY (2016) onde: 𝛽1 = 0,7𝑓𝑦 𝑊𝑥 𝐸𝐽 (3. Com isso o momento resistente da peça será o menor dos obtidos das Equações 3.

a) 𝜆𝑝 0,6𝐴𝑤 𝑓𝑦 𝜆 𝛾𝑎1 (3. b) 𝑉𝑅𝑑 = Para 𝜆𝑝 < 𝜆 ≤ 𝜆𝑟 𝑉𝑅𝑑 = Para 𝜆 > 𝜆𝑟 2 𝑉𝑅𝑑 𝜆𝑝 0,6𝐴𝑤 𝑓𝑦 = 1,24 ( ) 𝜆 𝛾𝑎1 (3. c) Os valores de esbeltez para a alma devido ao esforço cortante estão apresentados na Tabela 16. Tabela 16 – Valores de esbeltez para o esforço cortante 𝜆 𝜆𝑝 ℎ0 𝑡𝑤 𝑘𝑣 𝐸 1,10√ 𝑓𝑦 𝜆𝑟 1,37√ 𝑘𝑣 𝐸 𝑓𝑦 Fonte: Adaptado de FAKURY (2016) sendo: 𝑉𝑅𝑑 : Força cortante resistente de cálculo; 𝐴𝑤 : área de cisalhamento (𝐴𝑤 = ℎ0 𝑡𝑤 para flexão no eixo X, e 𝐴𝑤 = 2𝑏𝑓 𝑡𝑓 para flexão no eixo Y); 𝑘𝑣 : igual a 5,0 para flexão no eixo X e igual a 1,2 para flexão no eixo Y; 𝑓𝑦 : tensão de escoamento do aço; 𝛾𝑎1 : coeficiente de segurança ao escoamento. Por fim, a limitação das deformações é baseada na formulação da linha elástica de resistência dos materiais, e flecha máxima obtida pela análise deve ser inferior as tabeladas no Anexo C da NBR 8800:2008. As Equações 3.

descrevem tal superfície. 𝑁 Para 𝑁 𝑆𝑑 ≥ 0,2 𝑅𝑑 𝑁𝑆𝑑 8 𝑀𝑥𝑆𝑑 𝑀𝑦𝑆𝑑 + ( + ) ≤ 1,0 𝑁𝑅𝑑 9 𝑀𝑥𝑅𝑑 𝑀𝑦𝑅𝑑 (3. a) 1 𝑁𝑆𝑑 𝑀𝑥𝑆𝑑 𝑀𝑦𝑆𝑑 +( + ) ≤ 1,0 2 𝑁𝑅𝑑 𝑀𝑥𝑅𝑑 𝑀𝑦𝑅𝑑 (3. b) 𝑁 Para 𝑁 𝑆𝑑 < 0,2 𝑅𝑑 sendo: 𝑁𝑆𝑑 : Esforço axial solicitante de cálculo; 𝑁𝑅𝑑 : Força axial resistente de cálculo; 𝑀𝑥𝑆𝑑 : Momento fletor em torno do eixo X solicitante de cálculo; 𝑀𝑥𝑅𝑑 : Momento fletor em torno do eixo X resistente de cálculo; 𝑀𝑦𝑆𝑑 : Momento fletor em torno do eixo Y solicitante de cálculo; 𝑀𝑦𝑅𝑑 : Momento fletor em torno do eixo Y resistente de cálculo; Caso algum dos esforços não existirem, deve apenas suprimir tão parcela das equações 3. c) A NBR 8800:2008 também tem como critério de segurança o somatório de tensões elásticas cisalhante determinadas pela teoria da elasticidade inferiores a tensão resistente ao cisalhamento do aço, conforme. Para os estados limites de escoamento devido a tensões cisalhantes 𝜏𝑆𝑑 ≤ 0,6𝑓𝑦 𝛾𝑎1 (3.

a) Para os estados limites de instabilidade ou flambagem devido a tensões cisalhantes 𝜏𝑆𝑑 ≤ sendo: 0,6𝜒𝑓𝑦 𝛾𝑎1 (3. b) 89 𝜏𝑆𝑑 : Somatório de tensões cisalhantes elásticas; 𝑓𝑦 : tensão de escoamento do aço; 𝛾𝑎1 : coeficiente de segurança ao escoamento. 𝜒: fator de redução da resistência à compressão devido a flambagem global, devido ao cisalhamento; onde: Para 𝜆 ≤ 1,5 𝜒 = 0,658𝜆0 ² (3. e) 𝜏𝑉𝑥𝑑 = 𝑉𝑑𝑥 𝑄𝑥 𝐼𝑥 𝑡 (3. f) 𝜏𝑉𝑦𝑑 = 𝑉𝑑𝑦 𝑄𝑦 𝐼𝑦 𝑡 (3. g) 𝑇𝑑 𝑡 𝐽 (3. h) 𝜎𝑀𝑦𝑑 = 𝜏 𝑇𝑑 = sendo: 𝜎𝑆𝑑 : Somatório de tensões normais elásticas; 𝜎𝑁𝑑 : Tensões normais elásticas, devido aos esforços axiais; 𝜎𝑀𝑥𝑑 : Tensões normais elásticas, devido ao momento fletor em X; 𝜎𝑀𝑦𝑑 : Tensões normais elásticas, devido ao momento fletor em Y; 𝜏𝑆𝑑 : Somatório de tensões cisalhantes elásticas; 𝜏𝑉𝑥𝑑 : Tensões cisalhantes elásticas, devido aos esforços cortantes em X; 𝜏𝑉𝑦𝑑 : Tensões cisalhantes elásticas, devido aos esforços cortantes em Y; 𝜏 𝑇𝑑 : Tensões cisalhantes elásticas, devido ao momento torçor; 𝑁𝑑 : Esforço axial; 𝑀𝑥𝑑 : Momento fletor em torno do eixo X; 𝑀𝑦𝑑 : Momento fletor em torno do eixo Y; 𝑉𝑥𝑑 : Esforço cortante em X; 𝑉𝑦𝑑 : Esforço cortante em Y; 𝑇𝑑 : Momento torçor; 𝐴: Área da seção transversal; 𝑊𝑥 : Módulo de resistência elástico em X; 𝑊𝑦 : Módulo de resistência elástico em Y; 𝐼𝑥 : Momento de inércia em X; 𝐼𝑦 : Momento de inércia em Y; 𝑄𝑥 : Momento estático em X; 𝑄𝑦 : Momento estático em Y; 91 𝐽: constante de torção; 𝑡: espessura da chapa analisada; 92 3.

NBR 7190:1997 – Projeto de estruturas de madeira A elaboração da NBR 7190:1997 foi feita pelo Comitê Brasileiro da Construção Civil e substitui e cancela a edição anterior de 1982. c) A resistência característica 𝑅𝑘 é obtida por meio dos ensaios padronizados pelo Anexo da NBR 7190:1997. O coeficiente de minoração da resistência da madeira 𝛾𝑚 , adotam-se os 94 valores da Tabela 19. O mesmo leva em consideração a variabilidade da resistência do material, como as descritas na Nota de Rodapé 13 no capítulo 1. desse trabalho. Tabela 19 – Valores para o coeficiente de segurança em função do esforço solicitante Esforço 𝛾𝑚 Compressão 1,4 Tração 1,8 Cisalhamento 1,8 Fonte: Adaptado de PFEIL (2003) O coeficiente 𝑘𝑚𝑜𝑑 ajusta os valores da resistência característica da madeira em função de diversos fatores, e o mesmo é obtido por: 𝑘𝑚𝑜𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑1 𝑘𝑚𝑜𝑑2 𝑘𝑚𝑜𝑑3 (3.

Caso haja furos, devem ser descontados do valor da área bruta, conforme a Equação 3. sendo: 𝐴𝑔 : área bruta da seção transversal; 𝑏: espessura da peça; 𝑑: diâmetro do furo. Os elementos mais comuns de ligação que produzem redução na seção transversal da peça são os pregos, grampos, pinos, parafusos e entalhes. Barras de Madeira Comprimidas Peças comprimidas são as peças sujeitas a solicitações de compressão axial pura, sem efeitos de compressão devido ao momento fletor. Alguns sistemas estruturais apresentam peças de madeira comprimidas, como pilares, mão francesa e barras de treliças, conforme ilustrado na Figura 39. Para definir a maior esbeltez da peça analisada, deve-se aplicar a Equação 3. a para o menor raio da giração da mesma.

a) (3. b) sendo: 𝜆: índice de esbeltez da peça; 𝑘𝐿: comprimento de flambagem da peça; 𝑟: raio de giração; 𝐼: momento de inércia. Semelhantemente as peças tracionadas, a NBR 7190:1997, para que haja segurança das peças de madeira submetidas a compressão pura, a condição de cálculo deve ser garantida. Assim, é possível calcular a tensão de compressão máxima devido aos esforços axiais e momentos fletores de segunda ordem, conforme. sendo: 𝑦𝑐 : distância do centro geométrico até a fibra mais comprimida. Deve-se lembrar que tal momento fletor ocorre em torno do eixo mais fraco da peça. Peças esbeltas Para peças esbeltas (80 < 𝜆 < 140) o dimensionamento segue os mesmos passos que mostrados para peças medianamente esbeltas (item 3. porém com a inclusão do efeito da fluência da madeira, o que aumenta o valor do momento fletor de segunda ordem, dado por: 𝑀2𝑑 = 𝑁𝑐𝑑 (𝑒𝑎 + 𝑒𝑐 ) 𝑁𝑐𝑟 𝑁𝑐𝑟 − 𝑁𝑐𝑑 (3.

Esse fenômeno faz com que a viga sofra deformações e rotações laterais, fazendo-a sair do seu plano de equilíbrio inicial. A Figura 41 ilustra tal problema, sendo que a única solução é criar pontos intermediários fixos lateralmente. Figura 41 – Instabilidade lateral por torção de vigas de madeira Fonte: Do Autor (2019) Segundo a NBR 7190:1997, o dimensionamento das vigas de madeira é utilizado dois critérios, sendo eles a limitação das tensões atuantes e a limitação das deformações. A limitação das tensões é baseada na formulação de resistência dos materiais e da Equação 3. a do item 3. b) sendo 𝑙𝑑𝑒𝑠𝑡 : comprimento longitudinal máximo sem travamento lateral; 𝑏: base da viga; ℎ: altura da viga. A limitação das deformações é baseada na formulação da linha elástica de resistência dos materiais, e flecha máxima obtida pela análise deve ser inferior a: Tabela 21 – Valores de flechas limites Vãos internos L/200 Balanço L/100 Fonte: Adaptado da NBR 7190 (1997) Assim, todas as verificações de vigas sujeitas a flexão simples estão cumpridas.

Barras de Madeira sob combinação de esforços 3. Flexão Oblíqua Denomina-se flexão oblíqua a solicitação em que as cargas produzam momentos fletores em mais de um plano de rotação da seção transversal. As terças de telhado são as aplicações de elementos fletidos obliquamente mais comuns na prática de projetos estruturais. Nota-se que a relação de solicitação e resistência da parte do esforço axial está elevada ao quadrado. Isso ocorre pelo próprio fato de que o esforço axial influencia no comportamento da peça em relação ao momento fletor. Flexão Composta Oblíqua Flexão Composta Oblíqua é a combinação das duas últimas aqui apresentadas. Ocorre quando a peça está sujeita a esforço axial, enquanto há solicitações de momentos fletores em 106 ambos eixos simultaneamente.

O critério de segurança segundo a NBR 7190:1997 são os seguintes. Os códigos implementados para a sua criação, trabalham por meio de classes, objetos e condições lógicas para a obtenção dos resultados do dimensionamento e otimização das estruturas. Interface Gráfica A interface gráfica do software DAMC foi desenvolvida a fim de permitir uma fácil iteração do usuário com as entradas e saídas de dados. Por meio do pacote do software Visual Studio, a interface ficou bastante facilitada, principalmente devido a utilização da metodologia de programação, denominada POO (Programação Orientada a Objetos). Com ela, o programador tem a capacidade de criar diversas opções de comandos e controle, como caixas de textos, botões, menus, figuras, lista de itens, entre outras.

Além da possibilidade da iteração de um comando em função de outro. Para as Vigas de Concreto Armado, os dados de entrada também são fornecidos pelo usuário, os quais são: as dimensões da seção transversal da viga, a resistência do concreto, a classe de agressividade ambiental e as armaduras de aço tracionadas, comprimidas e os estribos, tendo em vista que o esforço solicitante predominante é a flexão simples. Além disso, foram utilizadas operações lógicas, envolvendo as recomendações normativas de espaçamento das barras de aço no interior da viga. Por fim, é verificado os Estados Limites de Serviço como a formação de fissuras e abertura de fissuras, segundo as recomendações da NBR 6118:2014.

Para os Pilares de Concreto Armado, o software DAMC se limita a análise de pilares com Índices de Esbeltez inferiores a 90, pois, pilares com Índices de Esbeltez superiores a 90, requererem análises computacionais mais avançadas dos esforços de segunda ordem, o que não foram contemplados nesse trabalho. O dimensionamento desses pilares foi baseado nas equações que deram origem aos Ábacos de Venturini de 198714, os quais são os mais utilizados em projetos, devido à complexidade de programação envolvendo esses gráficos já prontos. Lajes maciças de Concreto Armado Problema 4. Na Figura 49 é apresentada a planta baixa de um pavimento tipo de um edifício residencial, a qual se deseja dimensionar e verificar a laje L3, que será utilizada como sala de estar. A laje tem 10cm de espessura, o contrapiso tem 3cm, o forro tem 2cm e o piso tem 1cm.

Classe de Agressividade Ambiental II. Concreto C25. Com isso a carga solicitante de cálculo é dada por: 𝑞𝑑 = 1,4 ∙ (2,5 + 0,63 + 0,38 + 0,29) + 1,4 ∙ 2,0 = 8,12𝑘𝑁/𝑚² Assim, os momentos fletores solicitantes de cálculo são dados pela Equação 3. Aplicando os dados, têm-se: 𝑀𝑥 = 𝜇𝑥 𝑞𝑙𝑥 ² 8,12 ∙ 3,22 = 4,62 = 384𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚 100 100 𝑀′𝑥 = 𝜇′𝑥 𝑞𝑙𝑥 ² 8,12 ∙ 3,22 = 10,02 = 833𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚 100 100 𝑀𝑦 = 𝜇𝑦 𝑞𝑙𝑥 ² 8,12 ∙ 3,22 = 2,31 = 192𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚 100 100 𝑀′𝑦 = 𝜇′𝑦 𝑞𝑙𝑥 ² 8,12 ∙ 3,22 = 8,02 = 667𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚 100 100 Para obter a área de aço necessária para tais esforços, primeiro deve-se atentar a altura útil da laje em cada direção, devido uma barra ficar sobre outra, diminuindo assim a altura 𝑑. Como os esforços solicitantes em 𝑥 são maiores, é recomendado colocar as barras o mais abaixo possível, respeitando o cobrimento nominal de 2,5cm, devido a classe de agressividade. Ф𝑙 0,8 = 10 − 2,5 − = 7,1𝑐𝑚 2 2 Ф𝑙 0,8 𝑑𝑦 = ℎ − 𝑐 − Ф𝑙 − = 10 − 2,5 − 0,8 − = 6,3𝑐𝑚 2 2 Aplicando os dados na Equação 3. têm-se: 𝑑𝑥 = ℎ − 𝑐 − Equilíbrio de Forças 𝜆𝛽𝑥 𝑑𝑏𝑤 𝛼𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 𝑓𝑦𝑑 = 0 (3. Outra verificação necessária é a flecha excessiva, sendo essa limitada em 𝑙𝑥⁄ 250 = 1,28𝑐𝑚. O primeiro passo então é verificar o Estádio que o concreto se encontra, para isso compara o momento fletor solicitante para a combinação rara de ações (aquela que acontece apenas uma vez ao longo da vida da estrutura), dado pela Equação 3.

com o momento fletor resistente do concreto não fissurado, Equação 3. 𝑀𝑟𝑎𝑟𝑎 = ∑ 𝑀𝑔𝑖 + 𝑀𝑞𝑖 + ∑ 𝜓1𝑖 𝑀𝑞𝑖 𝑀𝑟 = 𝛼𝑓𝑐𝑡 𝐼1 ℎ − 𝑥1 Aplicando os dados, têm-se: 𝑀𝑟𝑎𝑟𝑎 = 𝑀𝑔 + 𝑀𝑞 = 4,62 3,8 ∙ 3,22 2,0 ∙ 3,22 + 4,62 = 274𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚 100 100 (3. 𝑀𝑟 = 𝛼𝑓𝑐𝑡 𝐼1 1,5 ∙ 0,179 ∙ 8392,8 = = 453,9𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚 ℎ − 𝑥1 10 − 5,02 onde: 𝑏𝑤 ℎ³ ℎ 2 𝐼1 = + 𝑏𝑤 ℎ (𝑥1 − ) + (𝛼𝑒 − 1)𝐴𝑠 (𝑑 − 𝑥1 )2 12 2 100 ∙ 10³ 10 2 𝐼1 = + 100 ∙ 10 (5,02 − ) + (8,4 − 1) ∙ 1,3 ∙ (7,6 − 5,02)2 = 8397,8𝑐𝑚4 12 2 𝑏𝑤 ℎ² 100 ∙ 10² + (𝛼𝑒 −1)𝐴𝑠 𝑑 + (8,4 − 1) ∙ 1,3 ∙ 7,6 2 2 𝑥1 = = = 5,02𝑐𝑚 𝑏𝑤 ℎ + (𝛼𝑒 −1)𝐴𝑠 100 ∙ 10 + (8,4 − 1) ∙ 1,3 𝛼𝑒 = 𝐸𝑠 200000 = = 8,4 𝐸𝑐𝑠 0,85 ∙ 5600 ∙ √25 2 2 𝑓𝑐𝑡 = 0,21𝑓𝑐𝑘 3 = 0,21 ∙ 253 = 1,79𝑀𝑃𝑎 Como 𝑀𝑟𝑎𝑟𝑎 < 𝑀𝑟 , não há formação de fissura, portanto o concreto é integro e no Estádio I. b) Aplicando os dados, os espaçamentos adequados são: 𝑠𝑥 = 20𝑐𝑚 𝑠′𝑥 = 18𝑐𝑚 𝑠𝑦 = 20𝑐𝑚 𝑠′𝑦 = 19𝑐𝑚 Os comprimentos de ancoragem das barras devem ser calculados pela Equação 3. e 3. onde: 𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1 𝜂2 𝜂3 0,7𝑓𝑐𝑡𝑚 1,4 (3. a) Aplicando os dados, têm-se: 2 2 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘 3 = 0,3 ∙ 253 = 2,36𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑏𝑑 = 𝜂1 𝜂2 𝜂3 0,7𝑓𝑐𝑡𝑚 0,7 ∙ 0,236 = 2,25 ∙ 1,0 ∙ 1,0 ∙ = 0,265𝑘𝑁/𝑐𝑚² 1,4 1,4 𝑙𝑏 = Ф𝑙 𝑓𝑦𝑑 0,8 43,48 = ∙ = 33𝑐𝑚 4 𝑓𝑏𝑑 4 0,265 O comprimento das barras das armaduras negativas é dado pela Equação 3. Para as armaduras positivas, o comprimento total da barra é dado simplesmente pela Equação 3. na Figura 53 é apresentada a viga V5 que será dimensionada e verificada. A viga tem dimensões de 20x30cm, e está sendo solicitada por duas lajes L3 do exemplo anterior, devido a simetria da edificação. Classe de Agressividade Ambiental II.

Concreto C25. Barras de 10mm e estribos de 5mm. b) 𝑀𝑑 𝜆𝛽 𝑓𝑦𝑑 𝑑 (1 − 2𝑥 ) (3. c) Aplicando os dados, têm-se: 𝑞𝑑 = 1,4𝑞𝑔 + 1,4𝑞𝑞 = 1,4 ∙ (1,5 + 7,71) + 1,4 ∙ 4,06 = 18,58𝑘𝑁/𝑚 𝑀𝑑 = 𝑀𝑑 = 𝜆𝛽𝑥 𝑑2 𝑏𝑤 𝛼𝑓𝑐𝑑 (1 − 𝑞𝑑 𝑙𝑒𝑓 ² 18,58 ∙ 3,5² = = 28,45𝑘𝑁𝑚 8 8 𝜆𝛽𝑥 2,5 0,8 ∙ 𝛽𝑥 ) → 2845 = 0,8 ∙ 𝛽𝑥 ∙ 26,5² ∙ 20 ∙ 0,85 ∙ ∙ (1 − ) 2 1,4 2 Isolando 𝛽𝑥 , têm-se: 𝛽𝑥 = 0,18 → 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 2𝑏 → 𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 A área de aço é dada então: 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝜆𝛽 𝑓𝑦𝑑 𝑑 (1 − 2𝑥 ) = 2845 50 0,8 ∙ 0,18 ∙ 26,5 ∙ (1 − ) 2 1,15 = 2,66𝑐𝑚² 125 Com a área de aço calculada, o próximo passo a se verificar é o Estado Limite de Serviço de Formação de Fissuras (ELS-F). Para isso, deve-se comparar o momento fletor solicitante para a combinação rara de ações (aquela que acontece apenas uma vez ao longo da vida da estrutura), dado pela Equação 3. com o momento fletor resistente do concreto não fissurado, Equação 3. Aplicando os dados, têm-se: (𝑞𝑔 + 𝑞𝑞 )𝑙𝑒𝑓 ² (9,21 + 4,06) ∙ 3,5² = = 20,32𝑘𝑁𝑚 = 2032𝑘𝑁𝑐𝑚 8 8 𝛼𝑓𝑐𝑡 𝐼1 1,5 ∙ 0,179 ∙ 45577,5 𝑀𝑟 = = = 835,9𝑘𝑁𝑐𝑚 ℎ − 𝑥1 30 − 15,36 𝑀𝑟𝑎𝑟𝑎 = 𝑀𝑔 + 𝑀𝑞 = onde: 𝑏𝑤 ℎ³ ℎ 2 𝐼1 = + 𝑏𝑤 ℎ (𝑥1 − ) + (𝛼𝑒 − 1)𝐴𝑠 (𝑑 − 𝑥1 )2 12 2 20 ∙ 30³ 30 2 𝐼1 = + 20 ∙ 30 (15,36 − ) + (8,4 − 1) ∙ 2,66 ∙ (26,5 − 15,36)2 = 45577,5𝑐𝑚4 12 2 𝑏𝑤 ℎ² 20 ∙ 30² + (𝛼𝑒 −1)𝐴𝑠 𝑑 + (8,4 − 1) ∙ 2,66 ∙ 26,5 2 2 𝑥1 = = = 15,36𝑐𝑚 𝑏𝑤 ℎ + (𝛼𝑒 −1)𝐴𝑠 20 ∙ 30 + (8,4 − 1) ∙ 2,66 𝛼𝑒 = 𝐸𝑠 200000 = = 8,4 𝐸𝑐𝑠 0,85 ∙ 5600 ∙ √25 2 2 𝑓𝑐𝑡 = 0,21𝑓𝑐𝑘 3 = 0,21 ∙ 253 = 1,79𝑀𝑃𝑎 Como 𝑀𝑟𝑎𝑟𝑎 > 𝑀𝑟 , há formação de fissuras, portanto o concreto não está integro e no Estágio II. c) Aplicando os dados, têm-se: 𝜎𝑠𝑖 = (∑ 𝑀𝑔𝑖 + ∑ 𝜓1𝑖 𝑀𝑞𝑖 )𝑦 1659 ∙ (26,5 − 7,14) = = 2,6𝑘𝑁/𝑐𝑚² 𝐼2 12312,6 onde: ∑ 𝑀𝑔𝑖 + ∑ 𝜓1𝑖 𝑀𝑞𝑖 = 𝐼2 = 𝐼2 = 𝑥2 = 𝑥2 = (9,21 + 0,4 ∙ 4,06) ∙ 3,5² = 16,59𝑘𝑁𝑚 8 𝑏𝑤 𝑥2 ³ + 𝛼𝑒 [𝐴𝑠 (𝑑 − 𝑥2 )2 + 𝐴𝑠 ′(𝑥2 − 𝑑′)2 ] 3 20 ∙ 7,14³ + 8,4 ∙ 3,14 ∙ (26,5 − 7,14)2 = 12312,6𝑐𝑚4 3 −𝛼𝑒 (𝐴𝑠 + 𝐴𝑠 ′) + √[𝛼𝑒 (𝐴𝑠 + 𝐴𝑠 ′)]2 + 2𝑏𝑤 𝛼𝑒 (𝐴𝑠 𝑑 + 𝐴𝑠 ′𝑑′) 𝑏𝑤 −8,4 ∙ 3,14 + √(8,4 ∙ 3,14)2 + 2 ∙ 20 ∙ 8,4 ∙ 3,14 ∙ 26,5 = 7,14𝑐𝑚 20 Por fim, aplicando os dados na Equação 3.

têm-se: 10 2,6 3 ∙ 2,6 0,0014𝑚𝑚 12,5 ∙ 2,25 20000 0,256 𝑤 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 ={ 10 2,6 4 0,0165𝑚𝑚 ( + 45) {12,5 ∙ 2,25 20000 0,0128 Como 𝑤 < 𝑤𝑘 , a abertura de fissuras não supera ao limite normativo. A última verificação para o Estado Limite de Serviço da peça é a da flecha máxima admissível. Como houve a formação de fissuras, deve-se aplicar a Equação 3. para obter o momento de inércia equivalente da seção: 𝐼𝑒𝑞 𝑀𝑟 3 𝑀𝑟 3 = ( ) 𝐼1 + [1 − ( ) ] 𝐼2 < 𝐼1 𝑀𝑎 𝑀𝑎 (3. b) 𝐴𝑠𝑤 𝑉𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 = ( ) 0,9𝑑𝑓𝑦𝑤𝑑 𝑠 𝑚𝑖𝑛 (3. c) onde: 129 ( 𝐴𝑠𝑤 ) = 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 𝑏𝑤 𝑠 𝑚𝑖𝑛 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,2 𝑓𝑐𝑡,𝑚 𝑓𝑦𝑤𝑘 (3. d) (3. e) Aplicando os dados, têm-se: 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 = 0,2 ( 𝑓𝑐𝑡,𝑚 0,256 = 0,2 = 0,000853 𝑓𝑦𝑤𝑘 60 𝐴𝑠𝑤 ) = 𝜌𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 𝑏𝑤 = 0,000853 ∙ 20 = 0,01707𝑐𝑚2 /𝑐𝑚 𝑠 𝑚𝑖𝑛 𝑉𝑠𝑤,𝑚𝑖𝑛 = ( 𝐴𝑠𝑤 60 ) 0,9𝑑𝑓𝑦𝑤𝑑 = 0,01707 ∙ 0,9 ∙ 26,5 ∙ = 21,23𝑘𝑁 𝑠 𝑚𝑖𝑛 1,15 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,7𝑓𝑐𝑡,𝑚 0,7 ∙ 0,256 = = 0,128𝑘𝑁/𝑐𝑚² 1,4 1,4 𝑉𝑐0 = 0,6𝑓𝑐𝑡𝑑 𝑏𝑤 𝑑 = 0,6 ∙ 0,128 ∙ 20 ∙ 26,5 = 40,7𝑘𝑁 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐0 + 𝑉𝑠𝑤 = 40,7 + 21,23 = 61,93𝑘𝑁 Como 𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3, a taxa de armadura transversal mínima é o suficiente para resistir aos esforços cortantes solicitantes, restante portanto obter o espaçamento dos estribos que tal taxa gera, dado por: 𝑠= 𝐴𝑠𝑖,𝑡 𝐴 ( 𝑠𝑠𝑤 ) 𝑚𝑖𝑛 2 ∙ 𝜋 ∙ 0,5²⁄ 4 = 23𝑐𝑚 = 0,01707 Para finalizar o problema, é necessário verificar a armadura máxima e mínima, apresentado na Equação 3. a) 𝐴𝑠 ≥ 𝜌𝑠 𝑏𝑤 ℎ (3. Que deve ser dimensionado e verificado para a solicitação de quatro vigas totalizando num esforço solicitante de cálculo igual a 𝑁𝑆𝑑 = 1000𝑘𝑁.

Classe de Agressividade Ambiental II. Concreto C25. Barras de 20mm e estribos de 5mm. Figura 58 – Posição e dimensões do pilar analisado Fonte: Do Autor (2019) Solução 4. b) Aplicando os dados, têm-se: 25 + 12,5 𝜆1𝑥 = 𝛼𝑏 25 + 12,5 𝜆1𝑦 = 𝑒1𝑥 ℎ𝑥 𝛼𝑏 𝑒1𝑦 ℎ𝑦 = 0 25 + 12,5 ∙ 20 = 0 25 + 12,5 ∙ 40 1,0 1,0 = 25 → 𝜆1𝑥 = 35 = 25 → 𝜆1𝑦 = 35 Como 𝜆𝑥 > 𝜆1𝑥 e 𝜆𝑦 < 𝜆1𝑦 é obrigatório a análise de segunda ordem apenas para a direção 𝑥. O momento fletor mínimo é dado então pela Equação 3. conforme. Aplicando os dados, têm-se: 𝑀1𝑆𝑑𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑆𝑑 (0,015 + 0,03ℎ𝑥 ) = 1000 ∙ (0,015 + 0,03 ∙ 0,2) = 21𝑘𝑁𝑚 = 2100𝑘𝑁𝑐𝑚 135 Devido a obrigatoriedade de análise de segunda ordem na direção 𝑥, o momento fletor solicitante total de cálculo é dado então pela Equação 3. conforme. Nota-se a proximidade dos valores, contudo pelos ábacos se tratarem de método gráfico de dimensionamento, perde-se grande precisão. Por fim, acha-se a quantidade de barras necessárias para o pilar, conforme. 𝑛= 𝐴𝑠 10,2 = = 4 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝐴𝑠𝑖 𝜋 ∙ 2,0²⁄ 4 Como os pilares devem ter a disposição das armaduras simétricas, recomenda-se o número par superior ao número de barras necessárias.

Por fim, como esse pilar não está sujeito a esforços cortantes, o espaçamento dos estribos é dado pela Equação 3. conforme. Figura 62 – Barra tracionada Fonte: Do Autor (2019) Solução 4. O primeiro passo é consultar o catálogo do fabricante do perfil de aço para obter os dados das propriedades geométricas necessárias. A Tabela 24 apresenta um resumo. Tabela 24 – Propriedades geométricas do perfil U152x12,2 𝑑 (𝑚𝑚) ℎ0 (𝑚𝑚) 𝑡𝑤 (𝑚𝑚) 𝑏𝑓 (𝑚𝑚) 𝑡𝑓 (𝑚𝑚) 𝐴𝑔 (𝑐𝑚²) 𝑟𝑦 (𝑐𝑚) 152,4 135,0 5,1 48,8 8,7 15,5 1,36 Fonte: Do Autor (2019). Após isso, verifica a limitação do índice de esbeltez, dado na Equação 3. A Tabela 25 apresenta um resumo. Tabela 25 – Propriedades geométricas do perfil W360x91,0 (H) 𝑑 (𝑚𝑚) ℎ0 (𝑚𝑚) 𝑡𝑤 (𝑚𝑚) 𝑏𝑓 (𝑚𝑚) 𝑡𝑓 (𝑚𝑚) 𝐴𝑔 (𝑐𝑚²) 353,0 320,0 9,5 254,0 16,4 115,9 𝐽 (𝑐𝑚4 ) 𝐼𝑥 (𝑐𝑚4 ) 𝐼𝑦 (𝑐𝑚4 ) 𝑟𝑥 (𝑐𝑚) 𝑟𝑦 (𝑐𝑚) 𝐶𝑤 (𝑐𝑚6 ) 92,6 26755 4483 15,19 6,22 1 268 709 Fonte: Do Autor (2019). Após isso, verifica a limitação do índice de esbeltez, dado na Equação 3. Agora, verifica-se a possibilidade da flambagem local da mesa e da alma: 𝑏𝑓 254 = = 7,74 2𝑡𝑓 2 ∙ 16,4 𝑏 𝐸 20000 ( ) = 0,56√ = 0,56√ = 13,48 𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑓𝑦 34,5 Logo, não haverá flambagem local da mesa, verifica-se agora a possibilidade na alma.

ℎ0 320 = = 33,68 𝑡𝑤 9,5 𝑏 𝐸 20000 ( ) = 1,49√ = 1,49√ = 35,87 𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑓𝑦 34,5 Tanto a alma e a mesa não apresentam possibilidade de flambagem local. e no software. Barras de Aço Fletidas Problema 4. Na Figura 66 é apresentada uma viga bi apoiada que está sujeita a uma carga de cálculo uniformemente distribuída no valor de: 𝑞𝑑 = 20𝑘𝑁/𝑚 145 A viga é feita do aço ASTM A572-G50 com Módulo de Elasticidade Longitudinal igual a 200GPa e Módulo de Elasticidade Transversal igual a 77GPa, e tem um vão de 8m. Figura 66 – Barra fletida Fonte: Do Autor (2019) Solução 4. O primeiro passo é consultar o catálogo do fabricante do perfil de aço para obter os dados das propriedades geométricas necessárias. c) Aplicando os dados, têm-se: 𝑀𝑅𝑑 = 1 1,136 ∙ 𝜋² ∙ 20000 ∙ 1615 1 062 959 33,4 ∙ 800² √ (1 + 0,039 ∙ ) = 17628,37𝑘𝑁𝑐𝑚 1,1 1615 1 062 959 800² Outra verificação obrigatória é a respeito da resistência ao esforço cortante. Para isso deve-se classificar a alma do perfil em função da sua esbeltez, conforme.

𝜆= ℎ0 502 = = 55,78 𝑡𝑤 9,0 𝑘𝑣 𝐸 5 ∙ 20000 𝜆𝑝 = 1,1√ = 1,1√ = 59,22 𝑓𝑦 34,5 𝑘𝑣 𝐸 5 ∙ 20000 𝜆𝑟 = 1,37√ = 1,37√ = 73,76 𝑓𝑦 34,5 148 Para 𝜆 ≤ 𝜆𝑝 𝑉𝑅𝑑 = 0,6𝐴𝑤 𝑓𝑦 𝛾𝑎1 (3. a) Aplicando os dados, têm-se: 𝑉𝑅𝑑 = 0,6𝐴𝑤 𝑓𝑦 0,6 ∙ 50,2 ∙ 0,9 ∙ 34,5 = = 850,2𝑘𝑁 𝛾𝑎1 1,1 O aproveitamento estrutural do perfil é dado por: 𝑉𝑆𝑑 80 = = 0,094 𝑉𝑅𝑑 850,2 𝑀𝑆𝑑 16000 = = 0,91 𝑀𝑅𝑑 17628,37 Na Figura 67 é apresentado os resultados obtidos para o mesmo problema pelo software DAMC. Figura 67 – Resultado DAMC para Elemento de Aço Fletido Fonte: Do Autor (2019) Como o software DAMC opera com os mesmos passos aqui apresentados, os resultados são precisos, havendo uma única diferença na precisão de casas decimais adotadas no Problema 4. Com o valor da resistência a compressão já foi calculado no Problema B. contudo lá se aplicava a um pilar biarticulado, portanto deve-se repetir o cálculo para as novas condições de contorno. A flambagem local tanto da alma como da mesa não dependem das condições de contorno do pilar, portanto, igual ao Problema B. o pilar não apresenta possibilidade de flambagem local.

Coeficiente 𝑄 é igual a 1,0. a) Aplicando os dados, têm-se: 𝑀𝑥𝑅𝑑 = 1680,1 ∙ 34,5 = 52694,04𝑘𝑁𝑐𝑚 1,1 A mesma verificação é feita para FLA para flexão no maior eixo de inércia, conforme. 𝜆= ℎ0 320 = = 33,68 𝑡𝑤 9,5 𝐸 20000 𝜆𝑝 = 3,76√ = 3,76√ = 90,53 𝑓𝑦 34,5 𝐸 20000 𝜆𝑟 = 5,70√ = 5,70√ = 137,24 𝑓𝑦 34,5 Para 𝜆 ≤ 𝜆𝑝 𝑀𝑥𝑅𝑑 = 𝑍𝑥 𝑓𝑦 𝛾𝑎1 Aplicando os dados, têm-se: 𝑀𝑥𝑅𝑑 = 1680,1 ∙ 34,5 = 52694,04𝑘𝑁𝑐𝑚 1,1 Por fim, analisa-se a FLT, conforme. a) 153 𝜆𝑟 = 1,38√4483 ∙ 92,6 √ 27 ∙ 1 269 805 ∙ 0,0197² 1 + √1 + = 135,54 6,22 ∙ 92,6 ∙ 0,0197 4483 onde: 𝛽1 = 0,7𝑓𝑦 𝑊𝑥 0,7 ∙ 34,5 ∙ 1515,9 = = 0,0197/𝑐𝑚 𝐸𝐽 20000 ∙ 92,6 Para 𝜆𝑝 < 𝜆 ≤ 𝜆𝑟 𝑀𝑥𝑅𝑑 = 𝜆 − 𝜆𝑝 𝐶𝑏 [𝑍𝑥 𝑓𝑦 − (𝑍𝑥 𝑓𝑦 − 0,7𝑊𝑥 𝑓𝑦 ) ( )] 𝛾𝑎1 𝜆𝑟 − 𝜆𝑝 (3. b) Aplicando os dados, têm-se: 𝑀𝑥𝑅𝑑 = 1,0 45,02 − 42,38 [1680,1 ∙ 34,5 − (1680,1 ∙ 34,5 − 0,7 ∙ 1515,9 ∙ 34,5) ( )] = 52143,91𝑘𝑁𝑐𝑚 1,1 135,54 − 42,38 Agora calcula-se o momento fletor resistente em torno do menor eixo de inércia. A verificação da FLM para flexão no menor eixo de inércia é dada por: 𝜆= 𝑏𝑓 254 = = 7,74 2𝑡𝑓 2 ∙ 16,4 𝜆𝑝 = 0,38√ 𝐸 20000 = 0,38√ = 9,15 𝑓𝑦 34,5 𝐸 20000 𝜆𝑟 = 0,83√ = 0,83√ = 23,88 𝑓𝑦 0,7 ∙ 34,5 Para 𝜆 ≤ 𝜆𝑝 𝑀𝑦𝑅𝑑 = 𝑍𝑦 𝑓𝑦 𝛾𝑎1 (3. e) 155 𝜎𝑀𝑦𝑑 = 𝑀𝑦𝑑 1500 = = 4,25𝑘𝑁/𝑐𝑚² 𝑊𝑦 353 𝜎𝑆𝑑 = 𝜎𝑁𝑑 + 𝜎𝑀𝑥𝑑 + 𝜎𝑀𝑦𝑑 = 21,57 + 5,94 + 4,25 = 31,76𝑘𝑁/𝑐𝑚² Calculado anteriormente: 𝜒 = 0,86 Portanto. 𝜒𝑓𝑦 086 ∙ 34,5 = = 26,97𝑘𝑁/𝑐𝑚² 𝛾𝑎1 1,1 Aplicando na Equação 3. têm-se: 𝜎𝑆𝑑 ≤ 𝜒𝑓𝑦 → 31,93 > 26,97 𝛾𝑎1 31,93 = 1,18 > 1,0 𝑁ã𝑜 𝑂𝑘! 26,97 Na Figura 69 é apresentado os resultados obtidos para o mesmo problema pelo software DAMC. Figura 69 – Resultado DAMC para Elemento de Aço a esforços combinados Fonte: Do Autor (2019) É possível notar que mesmo aumentando a rigidez do sistema estrutural e reduzindo o comprimento de flambagem do pilar devido ao engaste, o aparecimento de momentos fletores 156 solicitantes gerou esforços internos que superam as resistências normativas, não sendo assim aprovado mecanicamente.

Por fim, o fluxograma do código de automatização de perfis de aço laminado está apresentado na Figura 70. O 𝑘𝑚𝑜𝑑2 é dado por: 𝑘𝑚𝑜𝑑2 = 0,8 O fato de a madeira não ser classificada experimentalmente, caracteriza-a como madeira de segunda categoria e o valor de 𝑘𝑚𝑜𝑑3 é: 𝑘𝑚𝑜𝑑3 = 0,8 Por fim, o valor final de 𝑘𝑚𝑜𝑑 é a multiplicação dos três anteriores, como: 𝑘𝑚𝑜𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑1 𝑘𝑚𝑜𝑑2 𝑘𝑚𝑜𝑑3 = 0,45 Adaptando a Tabela 17 e a Tabela 18 estão apresentados os valores para todas as classes de resistência das madeiras, para a dicotiledônea C40. Tabela 28 – Propriedades mecânicas da madeira dicotiledônea classe C40 𝑓𝑐0𝑘 (MPa) Classe Dicotiledôneas C40 𝑓𝑡0𝑘 (MPa) 𝑓𝑣𝑘 (MPa) 𝐸𝑐 (MPa) 51,95 6 19 500 40 Fonte: Do Autor Por fim, todas as tensões resistentes de cálculo são: 𝑓𝑐0𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 𝑓𝑐0𝑘 40 = 0,45 ∙ = 12,8𝑀𝑃𝑎 𝛾𝑚 1,4 158 𝑓𝑡0𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 𝑓𝑡0𝑘 51,95 = 0,45 ∙ = 12,93𝑀𝑃𝑎 𝛾𝑚 1,8 A norma permite por segurança adotar: 𝑓𝑡0𝑑 = 𝑓𝑐0𝑑 = 12,8𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑣𝑑 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 𝑓𝑣𝑘 6 = 0,45 ∙ = 1,49𝑀𝑃𝑎 𝛾𝑚 1,8 𝑓𝑐90𝑑 = 𝑓𝑡90𝑑 = 0,25 ∙ 𝑓90𝑑 = 0,25 ∙ 12,8 = 3,2𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑐 𝑒𝑓 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 𝐸𝑐 = 0,45 ∙ 19 500 = 8 775𝑀𝑃𝑎 Com isso, é possível realizar as verificações para todos os possíveis esforços solicitantes de cálculos, conforme a seguir.

Barras de Madeira Tracionadas As Equações 3. apresenta os critérios de segurança para o seguinte exemplo: 𝜎𝑁𝑑 ≤1 (3. a) 𝑓𝑡𝑑 𝜎𝑁𝑑 = 𝑁𝑡𝑑 𝐴𝑛 (3. Por meio de uma análise elástico linear, um pilar biarticulado, apresentado na Figura 73, está comprimido com um esforço solicitante de cálculo igual a: 𝑁𝑐𝑑 = 250𝑘𝑁 A seção adotada para a verificação tem dimensões de 20x20cm e seu comprimento longitudinal é igual a 200cm. 𝐴𝑛 = 𝑏𝑤 ℎ = 20 ∙ 20 = 400𝑐𝑚² Figura 73 – Pilar comprimido Fonte: Do Autor (2019) Solução 4. a. O primeiro passo é calcular o índice de esbeltez da peça para classifica-la em função da ocorrência de flambagem, conforme. 𝐼 13 333 √ 𝑟 = √ = 12 = √ = 5,77𝑐𝑚 𝐴𝑛 400 20² 161 𝜆= 𝑘𝐿 1,0 ∙ 200 = = 34,66 < 40 𝑟 5,77 Peça curta! Com a classificação de pilar curto, a tensão solicitante é dada por: 𝜎𝑁𝑑 = 𝑁𝑐𝑑 250 = = 0,625𝑘𝑁/𝑐𝑚² 𝐴𝑛 400 Por fim a verificação de estabilidade é dado por: 𝜎𝑁𝑑 0,625 = = 0,49 ≤ 1 𝑂𝑘! 𝑓𝑐𝑑 1,28 Na Figura 74 é apresentado os resultados obtidos para o mesmo problema pelo software DAMC.

e no software. Barras de Madeira Fletidas As Equações 3. apresenta os critérios de segurança para o seguinte exemplo: 𝜎𝑀𝑐𝑑 ≤1 (3. a) 𝑓𝑐𝑑 𝜎𝑀𝑡𝑑 ≤1 (3. b) 𝑓𝑡𝑑 𝜏𝑑 ≤1 (3. e no software. Finalizando, o espaçamento entre travamentos necessário ao longo do comprimento da viga é dado pela Equação 3. conforme. 𝑙𝑑𝑒𝑠𝑡 ≤ 𝑏 𝐸𝑐 𝑒𝑓 12 877,5 = = 782,7𝑐𝑚 𝛽𝑀 𝑓𝑐𝑑 10,51 1,28 onde: 𝛽𝑀 = 1 (30/12)3/2 4 = 10,51 0,25𝜋 30 1,4 √ − 0,63 12 90b) Portanto, para tal viga, não há a necessidade de realizar um travamento lateral para evitar a flambagem lateral por torção. Barras de Madeira sob combinação de esforços Problema 4. conforme. a) 𝜎𝑀𝑦𝑑 𝜎𝑀𝑥𝑑 + ≤1 𝑓𝑐𝑑/𝑡𝑑 𝑓𝑐𝑑/𝑡𝑑 (3. b) 𝑘𝑀 √𝜏𝑥𝑑 ² + 𝜏𝑦𝑑 ² 𝑓𝑣𝑑 ≤1 Aplicando os dados: 𝜎𝑀𝑦𝑑 𝜎𝑀𝑥𝑑 0,836 0,667 + 𝑘𝑀 = + 0,5 ∙ = 0,91 ≤ 1 𝑂𝑘! 𝑓𝑐𝑑/𝑡𝑑 𝑓𝑐𝑑/𝑡𝑑 1,28 1,28 𝑘𝑀 𝜎𝑀𝑦𝑑 𝜎𝑀𝑥𝑑 0,836 0,667 + = 0,5 ∙ + = 0,86 ≤ 1 𝑂𝑘! 𝑓𝑐𝑑/𝑡𝑑 𝑓𝑐𝑑/𝑡𝑑 1,28 1,28 √𝜏𝑥𝑑 ² + 𝜏𝑦𝑑 ² 𝑓𝑣𝑑 = √0,033² + 0,01² = 0,23 ≤ 1 𝑂𝑘! 0,149 (3. Na Figura 79 é apresentado os resultados obtidos para o mesmo problema pelo software DAMC. Figura 79 – Resultado DAMC para Elemento de Madeira a esforços combinados Fonte: Do Autor (2019) O fluxograma do código de verificação de perfis de aço laminado e de madeira maciça está apresentado na Figura 80.

O. Propriedades Físicas e Mecânicas dos Materiais. In: ISAIA, G. C. ed. Rio de Janeiro, 1997. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800:2008 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro, 2008. BARES, R. Lajes de Concreto. Bauru – SP (UNESP), Notas de Aula, 2015. BASTOS, P. S. S. O. PINHO, M. O. Edifícios de múltiplos andares em aço. ed. McGraw-Hill, USA, 1999. CARVALHO, R. C. FILHO, J. R. ed. São Carlos, 2009. CASS, A. J. R. H. Desenvolvimento de software educacional para Análise e Dimensionamento de Estruturas de Concreto Protendido. In: Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia. s. n. H. Dimensionamento de Elementos Estruturais de Aço e Mistos de Aço e Concreto. ed.

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