Lista de cálculo III

Assim, ZZ Z 3y dA = π Z 2 3 (r sen θ) r dr dθ 0 D Z 1 π Z 2 r2 (r sen θ) dr dθ Z π  Z 2  = 3 sen θ dθ r2 dr 0 1  3 π 2 r = 3(− cos θ) · 3 1 0 7 = 3 · 2 · = 14. Portanto, Z y 2 dx + 5xy dy = 14 C 1 ∂Q ∂x e ∂P ∂y são contı́nuas, Questão 2. a) Seja S1 = {(x, y, z) ∈ S; x ≥ 0}. As interseções dos   planos z = 2x e z = 4x com S1 tem  para metrizações ~s1 (t) = (3 cos t, 3 sen t, 6 cos t), t ∈ − π2 , π2 e ~s2 (t) = (3 cos t, 3 sen t, 12 cos t), t ∈ − π2 , π2 , respectivamente. π π Seja ~r(t) R = (3 cos t, 3 sen t), t ∈ [− 2 , 2 ]. Portanto, ZZ Z π 2 Z 12 cos u kru × rv k dA = 6 A(S) = 2 −π 2 D Z π 2 dv du = 36 cos u du = 72. −π 2 6 cos u Questão 3. A interseção entre a parte superior e o cone é a circunferência de equação  2 x +√y 2 = 21.

z = 22 √ 2 2 } Sejam S1 = {(x, y, z) ∈ S; z ≤ √ e S2 = {(x, y, z) ∈ S; z ≥ 2 2 }. S1 é um cone com parametrização √ 0≤u≤ r(u, v) = (u cos v, u sen v, u), 2 , 2 0 ≤ v ≤ 2π. Assim, tomando x como parâmetro t, uma parametrização para curva C é p ~r(t) = (t, 2 − t, 4t − 2t2 ), 0 ≤ t ≤ 2. Agora, vamos mostrar que F~ é conservativo. Claramente, F~ está definida sobre todo R3 e suas funções componentes têm derivadas parciais de segunda ordem contı́nuas. Além disso, se P (x, y, z) = 2xyz + 2x, Q(x, y, z) = x2 z e R(x, y, z) = x2 y, então       ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ~ rot F = − i+ − j+ − k = ~0. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Portanto, F~ é conservativo.

Assim, Z Z F~ · d~r = ∇f · d~r = f (~r(2)) − f (~r(0)) = 4 − 0 = 4. C C Questão 5 (a) Sejam ~n1 e ~n2 vetores normais apontando para fora de S1 e S2 , respectivamente. A fronteira de E2 \E1 é S1 ∪ S2 é sua normal é dada por ~n = −~n1 em S1 e ~n = ~n2 em S2. Pelo teorema do Divergente ZZ ZZZ ZZ ~= F~ · ~n dS F~ · dS ∇ · F~ dV = S1 ∪S2 S1 ∪S2 E2 \E1 ZZ = F~ · (−~n1 ) dS + ZZ = − F~ · ~n1 dS + ZZ = − ~ + F~ · dS ZZ ZZ ~ = F~ · dS ~ + F~ · dS −S1 S2 S1 S F~ · ~n2 dS S2 S1 ZZ RR F~ · ~n2 dS S2 S1 (b) Vamos calcular Temos ZZ ZZ ~ F~ · dS. S2 ~ usando o teorema do Divergente. S Nesse caso, ~n = (x, y, z). Logo, ZZ ZZ F~ · ~n dS = C S S x2 + y 2 + z 2 dS = C (x2 + y 2 + z 2 )3/2 ZZ dS = CA(S) = 4πC.

S S (e) Temos k~rk3 − 23 · krk · 2x2 krk3 − 3k~rkx2 x ∂ = = 6 2 2 2 3/2 ∂x (x + y + z ) k~rk. Similarmente, ∂ y krk3 − 3k~rky 2 = 2 2 2 3/2 ∂y (x + y + z ) k~rk6 e ∂ z krk3 − 3k~rkz 2. ∂z (x + y + z ) k~rk6 Portanto, ∇ · F~ = 3k~rk3 − 3k~rk(x2 + y 2 + z 2 ) 3k~rk3 − 3k~rk3 = = 0. Temos 2 ∂ ∂ 2 ∂ ∇ · F~ = (xy) + (y + exz ) + (sen(xy)) = y + 2y = 3y. ∂x ∂y ∂z Agora seja E a região delimitada pela superfı́cie dada. Observe que E = {(x, y, z); −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 − x2 , 0 ≤ y ≤ 2 − z}. Logo, ZZ ~ F~ · dS ZZZ = ∇ · F~ dV = ZZZ E S E Z = = = 3y dV 1 Z 1−x2 2−z Z 3 Z 1 Z y dy dz dx = 3 −1 1 0 −1 0 0 1−x2 (2 − z)2 dz dx 2     Z 2 (2 − z)3 1−x 3 1 (2 − (1 − x2 ))3 8 − dx = − − dx 3 2 −1 3 3 0 −1 Z 1 1 2 [(x + 1)3 − 8] dx. − 2 −1 3 2 Z Como (x2 + 1)3 − 8 é uma função par, − 1 2 Z 1 [(x2 + 1)3 − 8] dx −1 = 1  7  x 3x5 (x6 + 3x4 + 3x2 − 7) dx = − + + x3 − 7x 7 5 0     184 184 1 3 + +1−7 =− − =.