Funções

Represente no plano cartesiano a função para x variando de a 3. b) Supondo que o número de mexilhões cresça exponencialmente, obtenha uma função que permita estimar a população de mexilhões ao longo dos anos. Com base na função obtida, determine qual será a população cinco anos após 1998. a) O ano de 1998 é o ponto de partida, logo ele é considerado como 0. Já 1999 é o ano seguinte, assim é tido como 1. a) Se ele gasta 1 litro a cada 3 km, ele gastará em 84 A derivada de funções exponenciais na base b é dada por km o equivalente a y = bx =⇒ y 0 = bx ln b 84 Logo, = R$ 28,00 3 y 0 = 67,38 ln(1,026)(1,026)x (b) Se a quilometragem percorrida é chamada de x, a função que estima o custo da aula de campo será f (x) = x + 120 3 sendo R$ 120,00 o custo fixo e x/3 o custo por litro.

b) y = 3 ln x A derivada de ln x é 1/x, logo y 0 = 3/x (c) y = 3x3 − 2x2 5 Calcule os limites nos seguintes casos (a) x2 − 6 lim+ x−2 x→2 Aplicando a regra do produto lim (x2 − 6) · lim (x − 2)−1 = −2 × ∞ = −∞ x→2+ x→2+ (b) lim x→∞ 10 =0 x A derivada de um polinômio axn é anxn−1 , para n > 1, logo y 0 = 9x2 − 4x (d) x2 + 1 2x Aplicando a regra do quociente, y= d(x2 + 1) d(2x) · 2x − · (x2 + 1) 4x2 − 2x2 − 2 0 dx dx y = = (2x)2 4x2 2 x −1 = 2x2 (e) y = cos x + sen x Derivando as funções trigonométricas, temos y 0 = − sen x + cos x (f) y = ex sen x Aplicando a regra do produto, y0 = d(sen x) x d(ex ) sen x + e = ex sen x + ex cos x dx dx 8 A temperatura H, em graus Celsius, de uma xı́cara de café colocada na bancada de uma cozinha é dada por H = f (t), onde t é o número de minutos a partir do momento em que a xı́cara foi colocada na bancada.

a) f 0 (t) é positiva ou negativa? Justifique sua resposta. b) Quais são as unidades de f 0 (20)? c) Qual o significado prático desta informação em termos da temperatura do café? (a) Como o café irá esfriar ao longo do tempo, a taxa de variação de f (t) é negativa. b) A unidade de saı́da de f 0 (t) é ◦C/min (c) A derivada dessa função representa a taxa em graus por minuto na qual o café será esfriado 9 A população P, da China, em bilhões, pode ser aproximada pela função f (t) = 1,15(1,014)t a) f (6) e f 0 (6) b) Quais são as unidade de f (6) e f 0 (6)? c) O que estes dois números lhe dizem sobre a população da China? (a) A população da China quando t = 6 é f (6) = 1,15(1,014)6 = 1,250 Como é em bilhão, f (6) = 1,250 × 109 A derivada de funções exponenciais na base b é dada por y = bx ⇒ y 0 = bx ln b Assim, f 0 (t) = 1,15 ln(1,014)(1,014)t Portanto, f 0 (6) = 1,15 ln(1,014)(1,014)6 = 0,017 (b) A unidade de f (6) é população e a unidade de f 0 (6) é população/tempo (c) f (6) diz respeito a quantidade de pessoas na China em um tempo igual a 6.