EVOLUÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA NOS SISTEMAS DE POSICIONAMENTO DINÂMICO SOB A PERSPECTIVA DO CONTROLE MODERNO

Titulação Nome do Professor(a) Prof(ª). Titulação Nome do Professor(a) Cidade, dia de mês de 2018 Dedico este trabalho. AGRADECIMENTOS Agradeço a. SOBRE NOME, NOME. Evolução da modelagem matemática nos sistemas de posicionamento dinâmico sob a perspectiva do controle moderno. Evolution Of Mathematical Modeling In Dynamic Positioning Systems Under The Perspective Of Modern Control. p. Trabalho Monográfico De Curso De Nome Do Curso, Nome Da Universidade, Cidade, Sigla Estado, 2018 ABSTRACT The surface of the planet Earth is mostly covered by water, a significant part of the natural resources available on the planet is also distributed in regions that are difficult to access by terrestrial means, and the ships are the only means of transportation that can carry high loads. The exploration and transportation of coal and oil in addition to the use of the ship as a means of transport, has made increasing concern about precise control of the ship.

Thus, Dynamic Positioning Systems (SPD) developed mainly after 1960, so the control of position and speed of a ship started to be performed automatically or semi-automatic. PROPOSTA METODOLÓGICA 14 2 ANÁLISE E CONTROLE DE PROCESSOS E SISTEMAS 15 2. MODELAGEM EM SISTEMAS DE CONTROLE 15 2. Modelagem matemática de sistemas 15 2. Modelagem por Variáveis de Estado 17 2. CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE DE SISTEMAS 20 2. DEFINIÇÕES GERAIS E CONCEITOS 39 3. EQUAÇÃO GERAL DE MODELAGEM 44 3. EVOLUÇÃO DO ESTADO DA ARTE DO CONTROLE EM SPD 47 4 CONCLUSÕES 50 REFERÊNCIAS 51 1 INTRODUÇÃO A Lei de Moore, como assim ficou conhecida após o seguinte enunciado: “o número de transistores nos chips teriam um aumento de 100%, pelo mesmo custo, a cada 18 meses. ” proferida por Gordon Moore, tornou-se uma realidade desde de 1965, quando o avanço da tecnologia de chips começou a desenvolver como campo científico e tecnológico.

Dessa forma, todos os campos da ciência e da engenharia foram profundamente alterados. Visto que, tais pressupostos configuram-se em um desenvolvimento em conjunto, ao qual inúmeros pioneiras da área de DP embasaram e consolidaram seus trabalhos e aos quais a literatura da área irá basear sua evolução também, com base nas atuais tendências de desenvolvimento, principalmente as que tangem os conceitos de inteligência artificial e controle moderno adaptativo. Tal evolução tecnológica, centra-se na implementação das mais variadas técnicas de controle, passando das abordagens de controle clássico com a modelagem no domínio da frequência até a modelagem moderna no domínio do tempo, em que controladores adaptativos que operam com altos fatores de segurança em sistemas altamente não lineares e em até mares agitados.

Conhecer e estabelecer a relação entre as abordagens matemáticas aplicadas para modelar o sistemas físicos que compõe o navio e sua interação hidrodinâmica, hidrostática e aerodinâmica com o meio fazem-se pertinente dada que, a modelagem através de sistemas vetoriais de equações diferencias ordinárias expressas por vetores de estados facilitaram a implementação do Filtro de Kalman como um observador do sistema que está sob controle, sendo que o a malha de sistema de controle retroalimentado conjugado ao um sistema não linear com realimentação proporcional pode ser projetado usando o Filtro de Kalman Estendido. Com isso, mostra-se que a modelagem matemática e a teórica de filtragem estatística possuem uma relação no desenvolvimento tecnólogo do DP.

OBJETIVOS 1. Evidencia-se a linha de evolução no que tange as diversas formas de controle não-linear. Na seção 4, estabelece as conclusões mostrado a correlação entre os elementos, apresentadas nas seções 2 e 3. PROPOSTA METODOLÓGICA Esta trabalho foi prioritariamente desenvolvido como uma pesquisa de cunho de revisão bibliográfica da literatura especializada, dando um enfoque dissertativo e argumentativo posicionando elementos e os argumentos com pontos de vistas variadas para a construção de conhecimentos, o que possibilitou uma discussão ampla do atual estado da arte das relações entre e evolução das metodologias de modelagem matemáticas frente a técnicas de controle em sistemas de posicionamento dinâmico. Buscou-se descrever os conceitos básicos sobre o que é controle e como o controle é aplicado nos problemas de posicionamento dinâmico.

Portanto, pesquisou-se artigos e livros datados entre a linha de tempo de 1950 a 2017, que trataram de temas correlacionados a modelagem dos navios e o dimensionamento dos sistemas de controle nestes. Dessa forma, as referidas equações mencionadas na definição do que venham a ser um modelo matemático, geralmente referem-se as equações diferenciais. Zill e Cullen (2009, p. definiu o termos equações diferencias como: “Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de um ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED). ”, assim o termo ordinária refere-se a ED que contém somente derivadas ordinárias em relação a somente uma variável independente, em caso contrário diz-se que a equação é uma Equação Diferencial Parcial.

A Equação 1, mostra a forma geral de uma EDO. também é conhecida como uma equação do sistema linear invariante no tempo, pois os coeficientes e são constantese não dependentes do tempo. As notações da Eq. e 4, são dadas na forma do domínio do tempo, de forma análogo conforme o início dessa do capítulo 2, pode-se representar o sistema no domínio da frequência (representação clássica) segundo Nise (2011), que é conhecida também como a representação pela Função de Transferência: em que é o operador da Transformada de Laplace, é a variável no domínio da frequência. As modelagens no domínio do tempo e no da frequência são abstrações matemáticas para representar a dinâmica de sistema.

A seguir será dado um enfoque a modelagem no domínio do tempo por meio das variáveis de estado que serão doravante definidas, optou-se neste trabalho por estudar os sistemas de controle sob a perspectiva no domínio do tempo, pois assim pode-se avaliar o comportamento em condições inicias não-nulas 2. e 10, forma compacta tem-se: Dessa forma a Eq. indica a equação do estados e a Eq. é a equação da saída. Para o sistemas LTI, isto é os coeficientes da Eq. não dependem do tempo, a representação geral das matrizes de estado é dados por: em que é o vetor de estados, o vetor de saída do sistemas, é a entrada do sistema, é a matriz dos estados, é a matriz de entrada, é a matriz de saída, é o distúrbio aplicado no sistema.

Estes blocos vistos na Figura 2 são usualmente representados no domínio da frequência, pois esta abordagem facilita os métodos de controle, na medida que os parâmetros do sistemas podem ser diretamente alterados na função de transferência caso necessário para a efetiva aplicação do controle. O resíduo ou o erro do sistema de controle é a diferença entre a saída e a resposta deseja, quando ponderado pelo sistema de ponderação indica com que velocidade os elementos atuadores podem interferir na planta, em sistemas no domínio do tempo, as variáveis de estado também são realimentadas e comparadas com o valor de referência operacional do sistema, fica claro que dada as devidas condições foi possível na estabelecer uma correlação entre as funções de transferência a as variáveis de estado do sistema, vide seção 2.

Tem-se mostrado na Figura 3, o exemplo de um sistemas de controle retroalimentado para o caso de VE, precedidas das hipóteses e com as análises de controle no domínio do tempo. FIGURA 3 – ESQUEMA DE SISTEMA DE CONTROLE RETROALIMENTADO FONTE: Bishop e Dorf (1998, p. Na seção 2. A única condição necessária, é que uma quantidade mínima de informação deve ser fornecida para modelar corretamente via as VE, esta condição indica um número mínima de variáveis de estado concordantes com a quantidade de graus liberdade que o sistema possui, tais quantidades são invariantes e independes dos sistema de coordenadas. Ademais, outro fator importante que deve ser levado em consideração em cada uma das representações, é a possível solução analítica do sistema homogêneo e não-homogêneo invariante, neste caso, uma solução analítica no domínio do tempo pode ser possível de se obter, alguns destes procedimentos são a Transformada de Laplace e o método Potência de Matriz aplicado no problema de autovalores.

Contudo, estas análises em sistema altamente multivariado não é trivial, a resolução e as análises destas equações são encontrado em Perko (2001). Procedimento numéricos como o método de Euler e o de Runge Kunta (BUTCHER, 1964). Por continuidade, a controlabilidade e a observabildiade de um sistema é definida segundo Ogata (2010, p. CONTROLE ÓTIMO 2. Regulador Linear Quadrático Conforme descrito na seção 2. o erro pode indicar a direção e velocidade com que uma planta pode ser controlada, neste tipo de abordagem refere-se aos problemas de otimização, na medida que o erro deve ser otimizado para atingir os mínimos valores possíveis, geralmente este erro é entre a saída de desejada e a saída obtida, que pode ser considerada em problemas com retroalimentação com um sinal de referência qualquer.

Em plantas lineares no Espaço Estados (EE), junto a abordagem de observadores pode-se determinar um tipo de controle conhecido como Regulador Quadrático Ótimo ou em inglês Linear Quadract Regulator (LQR), cujas as origens remontam dos trabalhos descritos e consolidados em sistemas de controle por diversas aplicações tais como as descritas por (PRASAD; TYAGI; GUPTA, 2014). O formalismo do LQR requer o conhecimento de todos as saídas de determinada planta, no qual pelo menos uma saída da planta no EE é totalmente observável. Princípio da Dualidade Existem diversas configurações de como o subsistema de estimação da variável de saída pode ser controlado. Na Figura 5 mostra-se algumas destas possibilidades de arranjo topológicos nas malhas de controle. FIGURA 5 – CONFIGURAÇÕES DA ALOCAÇÃO DO OBSERVADOR FONTE: Nise (1998, p.

Tão logo a controlabilidade e observabilidade constituem na relação da dualidade que estabelece o critério de detectabilidade que também é dual ao critério de estabilidade. Consequentemente, um sistema pode ser controlado se seu sistema observável é controlável. Ainda sobre o sistemas de rastreamento dinâmico é que se estabelece a analogia para este trabalho, em que, modela-se sistemas dinâmicos invariantes no tempo, onde aplica-se o FK para o problema de estimação de estados não observáveis. A notação geral do algoritmo do FK aplicada em sistemas dinâmicos assemelhasse com as notações aplicadas na seção 2. agora a equação dos estados, classifica-se como um equação diferencial estocástica linear, conforme a seguir: com a saída: sendo que , e são os ruídos do processos e de medição, estes ruídos são considerado independentes entre si, é o valor do estado estimado no tempo discreto.

As matrizes e com dimensão de e , são relacionadas com a matriz das variáveis de estado e com a matriz de entrada e finalmente é a matriz de saída ou a matriz de observação do sistema. Adotando a notação de Welch e Bishop (2001), para a definição das medidas de tempo num instante a priori e a posteriori com respectivamente iguais a e , aplicado no instante de tempo para determinada medicação , com isto é possível estabelecer os erros: sendo que os estimadores dos erros de covariância dados por: O FK estima a resposta a posteriori igualando estado a priori somado com a ponderação pelo chamado ganho entre o valor real da medida com o valor predito desta mesma medida, no tempo a priori deste observável, ou seja: em que é uma vetor de ganho , a diferença entre é denominada ganho de inovação, e é uma valor que varia a cada iteração recursiva, o problema do FK restringem em otimizar o valor do vetor ganho para realizar a aproximação com o maior grau de certeza possível entre os estimadores do erro de covariância, Eq.

Daí o sistema em recursividade realimenta os estados de entrada no bloco de predição. FIGURA 8 – REPRESENTAÇÃO DO ALGORTIMO DO FILTRO DE KALMAN FONTE: Welch e Bishop (2001, p. Na Figura 8, mostra-se as etapas internas de cálculo do FK que possui as entradas mostradas na Fig. o FK pode ser então aplicado para um filtro de ruído e aproximação de determinando sinal ou pode ser usado para estimar os estados não observáveis (GREWAL, 2011). As aplicações e a arquitetura do FK fazem então pertinentes em sistemas retroalimentação para controle proporcional quando conectado em plantas industrias nos arranjos mostrados na Fig. O processo de linearização advém dos trabalhos desenvolvidos por Taylor (GOODWILLIE, 2003). A literatura especializada sugere que a aplicação da linearização no filtro de Kalman gerou resultados bastantes promissores sendo este dos pontos mais requisitados do filtro.

O Filtro de Kalman Estendido ou como é mais conhecido pelo seu acrônimo em inglês Extended Kalman Filter (EKF), aplica a linearização na equação diferencial estocástica não linear, na qual possui algum funcional não linear, conforme mostra a Eq. em que as função não lineares e , relacionam os estados atuais e os estados a priori, os outros temos foram definidos nas Eqs. e 30. e realimentado as Eq. e 39, numa iteração a posteriori, na Eq. o ganho do filtro é estimado, com o ganho estima-se a saída de medição, Eq. e finalmente atualiza-se a covariância do erro a priori para ser aplicado na Eq. findando assim a recursividade até a convergência. Ainda sobre a influência sobre o ciclo produtivo de petróleo, agora na década de 1990 este exigia cada vez mais recursos e robustez de controle, para que assim, as plataformas marítimas de prospecção e refinamento de petróleo fossem mais controláveis e estáveis para as atividades fins.

Visto que, apenas sistemas de simples ancoragem e agarramentos a grandes pesos não garantiam a estabilidade necessária, devido a grandes amplitudes e frequências oscilatórias das ondas, estes sistemas arramados desenvolvidos eram conhecidos como Floating, Production, Storage and Offloading Systems (FPSO’s) ou Flutuação, Produção, Armazenamento e Escoamento. Na Fig. mostra-se os comparativos entre amarração e o SPD, no contexto da extração de petróleo. FIGURA 10 – ESTRUTURA E SUBSISTEMAS NOS SPD’s FONTE: AGOSTINHO (2009, p. Os algoritmos de controle devem estar projetados para atuarem em condições adversas, com pouca luminosidade ou com dados de posição com certo ruído, assim heurísticas modernas vem sendo incorporadas em sistemas de controle ativo-passivo-adaptativo com as configurações adaptáveis para cada tipo de ambiente, além disso normas regulamentadores fornecem diretrizes para a implementação de sistemas de controle redundantes para garantir a segurança de toda a tripulação.

Portanto, desde os primórdios de evolução dos SPD’s uma tríplice associação esteve sempre presente, está foi a de correlacionar a modelagem matemática do sistema do navio, com o sistema de referência que mensura de forma precisa as coordenadas geoestacionárias do navio. Esta correlação dá-se pela interface entre a eletrônica e as técnicas de sistemas de controle, e que por sua vez as técnicas de controle utilizam os recursos de modelagem altamente eficientes do sistemas que podem em certo grau não-linearidade. DEFINIÇÕES GERAIS E CONCEITOS A estrutura geral de um sistema SPD é definido como a interface entre diversos elementos organizados estruturalmente em subsistemas, que atuam em simbiose para que o sistema de controle seja devidamente projetado e implementado.

Dessa maneira conforme a Associação Internacional de Empreiteiros Marinhos ou a International Marine Contractors Association, definem SPD, "Um sistema que controla automaticamente a posição de um navio e encabeça exclusivamente por meio de impulso ativo" (IMCA, 2003). Os movimentos descritos na Fig. são divididos em movimentos horizontais e verticais, sendo que no plano horizontal estão incluídos os movimentos de SURGE: Translação na direção do eixo X; SWAY: Translação na direção do eixo Y; YAW: Rotação em torno do eixo Z no plano XY. No plano vertical tem-se, o PITCH: Rotação em torno no eixo Y no plano XZ; ROLL: Rotação em torno do eixo X no plano YZ e o HEAVE: Translação na direção do eixo Z, conforme mostrados a Fig.

As forças externas que agem sobre o navio impactam de forma diferente sobre cada um dos deslocamentos específicos mostrados na Fig. as forças externas são provenientes de contatos hidrostáticos, hidrodinâmicos e aerodinâmicos. E a partir dos GDL’s padronizados no Quadro 1, os atuais sistemas de coordenadas surgiram, a conversão de um sistema para outro utiliza os ângulos de Euler. Em conjunto com os sistemas GPS para mensurar de forma extremamente precisa geo-localização do navio com um erro na posição na escala dos centímetros. Na Fig. mostra um esquema ilustrativo para descrever os três principais eixos de coordenadas. FIGURA 15 – EXEMPLIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE COORDENADAS FONTE: FOSSEM (2011, p. A estratificação do elementos das Eq. e 43, são expressos como: em que dá Eq.

até a Eq. os termos são, é a matriz das de copo rígido, é a matriz de corpo rígido de coriolis, é a matriz de massa adicionada hidrodinâmica, é a matriz de forças lineares de Coriolis-centrípeta, e são respectivamente as matrizes lineares de potencial de amortecimento e amortecimento viscoso, é o efeito de memória do fluido,é a forças de restauração e é a força de restauração de lastro, as forças do ambientes são e , é a força de propulsão, é o vetor generalizo de velocidade que é igual a , e finalmente é o vetor generalizado das posições dados como os componentes dos vetores generalizados foram descritos no Quadro 1. Assim os modelos e as técnicas de controle devem ser aplicadas utilizando como base o modelo geral da Eq.

Dessa forma, na próxima seção será mostrado alguns indícios do estado da arte com aplicação dos diversos tipo de controle que aplicam particularmente 3. EVOLUÇÃO DO ESTADO DA ARTE DO CONTROLE EM SPD As técnicas de controle apresentam-se de várias formas e modelos, estas pode ser divididas em controle clássico e moderno, as técnicas podem ser de controle ativo, passivo, adaptativo ou híbrido, os sistemas apresentam-se como lineares, linearizados e não lineares, por consequência as abordagens de controle também são vastas tais como o controle PID, LQG, H infinito, Modos Deslizantes e etc. Nesta seção, um estudo de revisão bibliográfica é feito, de tal forma a correlacionar o desenvolvimento dos métodos de controle, com a modelagem matemática robusta além de incluir como a estimativa de dos controladores e observadores foram alterando-se ao longo do tempo, desde os primórdios do Filtro de Kalman.

Fung e Grimble (1983) desenvolveram em seus trabalhos a implementação do controle em um SPD aplicando o FKE e o controle ótimo LQR adaptativo hibrido ao controle retroalimentado, estes mostraram que existem um série de vantagem ao aplicaram esta abordagem, tais abordagens residiam no fato que no Filtro de Kalman, os fatores de alta e baioxa frequência poderiam ser rapidamente filtrados, assim a implementação tradicional de controle de malha fechada retroalimentado seria substancial melhorada, pois não haveria a necessidade de se preocupar com as matrizes de ruídos de covariância. Sørensen, Sagatun e Fossen (1996), incluíram na evolução dos sistemas de controle em DP, as modelagens de efeitos de baixa e alta frequência, foi possível mostrar com o uso do LQR, controle retroalimento feedfoward e os Estimadores de Kalman, que os efeitos de primeira ordem de ondas e ventos em baixas frequências eram controlados com certa robustez, em contra partida ainda neste trabalho foi discutido sobre a inviabilidade ou a não necessidade até o momento de controlar os fenômenos de alta frequência.

Ainda assim, uma desvantagem segundo os mesmo seria sobre a impossibilidade de não garantir completamente a estabilidade exponencial do sistema. Skjetne, Smogeli e Fossen (2004) discutem que a modelos completos, parâmetros e valores numéricos são de difícil obtenção, dessa o forma, neste trabalho os autores modelaram, aplicaram técnicas de identificação sistemas e projetaram o sistema de controle para um navio de manobra, com diferentes caminhos (paths) e velocidade. O objetivo era então projetar um sistemas de controle ótimo não linear e deste extrair os parâmetros construtivos. O modelo por eles trabalhado teve a construção de um protótipo denominado de CyberShip II que é visto na Fig. FIGURA 16 – MODELO DE NAVIO DE MANOBRA EM ESCALA Fonte: Skjetne, Smogeli e Fossen (2004, p.

CONCLUSÕES Neste trabalho foi possível estabelecer através do estudo de revisão da literatura uma investigação sobre as definições de sistemas de controle, evidenciando a teoria básica, correlacionando com as notações e as formas de controle básica, tais como as abordagens iniciais desenvolvidas, tais técnicas como o controle Linear Quadrático, pelo uso do Algoritmo do Regulador Quadrático. Os conceitos de modelagem, e suas representações também foram definidas e apresentadas para serem aplicadas especificamente em Sistemas de Posicionamento Dinâmico. Dessa forma, na seção 2 foram apresentadas as definições básicas, exemplificando dos arranjos primordiais dos sistemas de controle, diferenciou-se o controle em suas abordagens clássicas e moderna, dadas respectivamente no domínios da frequência e do tempo.

Ilustrou-se como os estimadores do Filtro de Kelman foram importantes para a implementação do controle. Mostrou-se a modelagem matemática do Filtro de Kalman, buscou-se caracterizar as etapas de correção e predição dadas nas etapas de aquisição e inicialização do sistemas a priori e a posteriori. ALWIDYANA, K. Linearization of Nonlinear Dynamical Systems: A Comparative Study, Jordan Journal of Mechanical and Industrial Engineering, vol 5, no. pp. AGOSTINHO, Adriana Cavalcante. Controle por modos deslizantes aplicado a sistema de posicionamento dinâmico. BROWN, R. G. HWANG, P. Y. C. Tese de Doutorado. Universidade de São Paulo. BUTCHER , J. C. On Runge–Kutta processes of high order, J. ser. Oilfield Seamanship Series. London, UK: Oilfield Publications Ltd (OPL), 2003, vol. DERENSIS, Thomas P. A robust linear dynamic positioning controller for a marine surface vehicle.

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