FINANÇAS - curso de matemática financeira e análise de investimentos

Aplicação dos métodos PB, VPL, TIR, CAE, BAE, e IL. Depreciação e substituição de equipamentos. Solução dos exercícios pelo método algébrico e pela calculadora HP 12c Professor George Hessel 2 PREFÁCIO O presente trabalho tem como objetivo principal, oferecer ao leitor conhecimento avançado referente à Análise de Investimentos sobre o tema Matemática Financeira, contendo, portanto, a abordagem de todos os conteúdos, inclusive com o tema introdutório de Matemática Comercial. No seu desenvolvimento foi adotado o critério de aplicação de um exercício criteriosamente selecionado para cada conteúdo, sendo que cada exercício dispõe simultaneamente das soluções por fórmulas, e no fim de cada exercício a solução pela calculadora HP 12c, para que o aluno, além de conferir se os resultados obtidos no cálculo algébrico estão corretos, mas também adquirir o próprio conhecimento do seu manuseio.

O leitor após entender cada exercício de cada conteúdo, terá todas as condições de resolver quaisquer exercícios sem grandes dificuldades, pois somente haverá alternância das incógnitas, o que implicará somente na diferenciação do cálculo matemático, e desde que seja obedecido todos os passos estabelecidos no capítulo introdução. Matemática Comercial. Matemática Financeira Básica. Matemática Financeira Avançada. CAPÍTULO 2 - MATEMÁTICA COMERCIAL. Razão. Regra de três composta. Porcentagem. Porcentagem. Valor líquido. Redução percentual. Convenção exponencial. Convenção linear. Taxa de juros. Taxa de juros acumulada. Taxa de juros média. Série de pagamentos diferentes. Série de pagamentos iguais e consecutivos. Pagamento postecipado. Pagamento antecipado. Pagamento com carência.

simples. composto. Sistemas de amortização. Sistema de amortização SAC. sem carência. com carência e sem juros. com carência e com juros. CAPÍTULO 4 – MATEMÁTICA FINANCEIRA AVANÇADA. Análise de investimentos 4. ANÁLISE DE VIABILIDADE DE UM INVESTIMENTO:. Fluxos de caixa iguais. Enunciado. Dados. Cálculo dos métodos. Método do Payback (PB). Análise pelo método do custo anual equivalente (CAE). Análise pelo método do benef. anual equivalente (BAE). DEPRECIAÇÃO DE EQUIPAMENTOS. SUBSTIUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS. Exercícios de descontos. Revisão. Exercícios. Exercícios de amortização. Revisão. RECOMENDAÇÕES INICIAIS: Todas as operações com a HP, antes de iniciar cada exercício, deverá ser clicada as teclas para fins de limpeza do registro. No início do desenvolvimento de cada exercício, a taxa de juros “i” que é dada em porcentagem (%), deverá ser ajustada para o seu valor algébrico, isto é, deverá ser dividida por 100, para após ser aplicada no cálculo pelas fórmulas.

No caso do cálculo pela HP, a taxa de juros “i” deverá ser introduzida com o seu valor em porcentagem (%). No início de cada exercício, se for necessário, o valor do período “n” deverá ser ajustado, de modo que sua unidade seja correspondente as unidades da taxa de juros “i”. Para o desenvolvimento de cada exercício, através do cálculo pelas fórmulas, procurar seguir a seguinte ordem: 1º) Ler o enunciado atentamente, procurando entender o que pede o exercício (obrigatório); 2º) Extrair todos os dados do enunciado (obrigatório); 3º) Ajustar o valor da taxa de juros “i” (obrigatório); 4º) Ajustar o valor do período “n” (se for necessário); 5º) Desenhar o fluxo de caixa através de um diagrama (se for necessário); 6º) Introdução das fórmulas adequadas (obrigatório); 7º) Introdução dos dados nas fórmulas (obrigatório); 8º) Cálculo matemático das equações (obrigatório).

𝑉𝑖 Notação: 𝑉𝑓 = valor final 𝑉𝑖 = valor inicial i = taxa de juros 1. Convenção exponencial: M = C. 𝑖 )𝑛 M=C+J Notação: n = período M = montante C = capital i = taxa de juros J = juros 1. Convenção linear: M = C. M=C+J (1+ i. T. n 𝑖𝐸 = 𝑉𝑅𝑇 TA = 𝑖𝐴. T Notação: T = título nominal VR = valor de resgate 𝐷𝐶 = desconto comercial 𝐷𝑇 = desconto total 𝑖𝐼𝑂𝐹 = taxa de juros do IOF 𝑖𝐶 = taxa de juros comercial 𝑖𝐸 = taxa de juros efetiva IOF = Valor total do IOF TA = valor total da TA 𝑖𝐴 = taxa de juros Administração 𝐷𝑅 = desconto racional n = nº de períodos 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA: Notação: M = Vf = montante (valor final) C = Vi = capital (valor inicial) J = juros (rendimentos) 𝑃𝑑 = pagamentos diferentes 𝑃𝑖 = pagamentos iguais ∑E = somatório das entradas ∑S = somatório das saídas n = períodos i = taxa de juros 1.

Juros Simples: Vf Vi 𝑃𝑑 Entradas (E) ∑E=∑S Tempo (n) 0 𝑃𝑑 n J=M-C Saídas (S) Valores diversos: (𝑃𝑑 ; Vi; Vf) Deslocamento p/ à esquerda 𝑃𝑑 𝑉𝑖 𝑉𝑓 (1+ 𝑖. As Entradas (E) devem ser representadas com setas para cima no diagrama do fluxo de caixa. As Saídas (S) devem ser representadas com setas para baixo no diagrama do fluxo de caixa. Taxas de juros simples equivalentes (proporcionais): 𝑖 𝐸1 𝑖𝐸2 𝑖𝐸1. Taxas de juros compostos equivalentes: (Mesma capitalização) 𝑖𝐸2 ( 1 + 𝑖𝐸1 )𝑓𝐸1 = ( 1 + 𝑖𝐸2 )𝑓𝐸2 Digite a equação aqui. 𝑖𝐸1 Notação: 𝑖𝐸 = taxa de juros efetiva 𝑖𝐶 = taxa de juros capitalizada 𝑖𝑁 = taxa de juros nominal 𝑓𝐸 = frequência anual da 𝑖𝐸 𝑓𝐶 = frequência anual da 𝑖𝐶 𝑓𝑁 = frequência anual da 𝑖𝑁 1. Desconto racional composto: VN = VA. 𝑖𝑗 )𝑛 DRC = VN - VA Racional = por dentro Comercial = por fora 1. Desconto comercial simples: VA = VN. n ) DCS = VN - VA 1. Desconto comercial composto: VA = VN.

Sistema de Amortização Price: (P = 𝑃𝑖 = cte) 𝑉𝑖 = ∑ 𝑃𝑖 ∑ 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖 𝑚𝑛 = 𝑃𝑖 - 𝐽𝑛. i 𝑆𝐷𝑛 = 𝑉𝑖 - ∑ 𝑚𝑛 ∑ 𝑃𝑖 𝑛 = n. 𝑃𝑖 𝑆𝑛 = ( 1+𝑖 )𝑛−1 𝑖 Notação: 𝑉𝑓 = valor final (Montante) 𝑉𝑖 = valor inicial (Capital) i = taxa de juros n = nº de períodos p = nº de pagamentos SD = saldo devedor J = juros m = amortização 𝑃𝑖 = pagamentos iguais S = coeficiente de amortização ∑ 𝑚𝑛 = 𝑚1. Sistema de Amortização SAC (m = cte): m= 𝑉𝑖 𝐽𝑛 = 𝑆𝐷𝑛−1. i 𝑛 𝑆𝐷𝑛 = 𝑉𝑖 - ∑ 𝑚𝑛 ∑ 𝑚𝑛 = m. Cálculo do PB de um projeto p/série uniforme: Notação: PB = Payback = Prazo de retorno I = Investimento FC = Fluxos de caixa iguais 𝐼 PB = 𝐹𝐶 1. Cálculo do PB de um projeto p/série irregular: a) Cálculo do Payback Simples (PBS): 12 PAYBACK SIMPLES (PBS) 0 1 2 n Notação: FCp = Fluxo caixa pontual FCSc = Fluxo caixa simples cumulativo PBS = Payback simples 𝑃𝐵𝑆𝑖 = Payback simples inteiro 𝑃𝐵𝑆𝑓 = Payback simples fracionário 3 FCp FCSc Considerando o FCSc, o PBS inteiro (𝑃𝐵𝑆𝑖 ) será o valor do último n referente ao FCSc negativo, e o PBS fracionário (𝑃𝐵𝑆𝑓 ), será calculado através da fórmula a seguir: 𝐹𝐶𝑆𝑐 (−) PBS = 𝑃𝐵𝑆𝑖 + 𝑃𝐵𝑆𝑓 𝑃𝐵𝑆𝑓 = 𝐹𝐶𝑆𝑐 (−) + 𝐹𝐶𝑆𝑐 (+) b) Cálculo do Payback Descontado (PBD): PAYBACK DESCONTADO (PBD) n 0 1 2 3 FCp FCD FCDc Notação: FCp = Fluxo caixa pontual FCD = Fluxo caixa descontado FCDc = Fluxo caixa descontado cumulativo PBD = Payback descontado 𝑃𝐵𝐷𝑖 = Payback descontado inteiro 𝑃𝐵𝐷𝑓 = Payback descontado fracionário Considerando o FCDc, o PBD inteiro (𝑃𝐵𝐷𝑖 ) será o valor do último n referente ao FCDc negativo, e o PBD fracionário (𝑃𝐵𝐷𝑓 ), será calculado através da fórmula a seguir: 𝐹𝐶𝐷𝑐 (−) PBD = 𝑃𝐵𝐷𝑖 + 𝑃𝐵𝐷𝑓 𝑃𝐵𝐷𝑓 = 𝐹𝐶𝐷𝑐 (−) + 𝐹𝐶𝐷𝑐 (+) 1.

Critério de viabilidade de um projeto. PB ‹ n PB = n PB › n Projeto é viável Projeto é indiferente Projeto é inviável 1. Critério de comparação de projetos Melhor projeto = menor PB 1. Cálculo do CAE de um projeto: CAE = 𝑉𝑃𝐿(𝑆) (1+𝑖)𝑛 −1 (1+𝑖)𝑛. 𝑖 𝑉𝑃𝐿(𝑆) = ∑S 1. Critério de comparação de projetos: Melhor projeto = menor CAE 1. Benefício anual equivalente (BAE) 1. Cálculo do BAE de um projeto: Y% +𝑉𝑃𝐿2 14 𝑉𝑃𝐿(𝐸) BAE = 𝑉𝑃𝐿(𝐸) = ∑E (1+𝑖)𝑛−1 (1+𝑖)𝑛. LC LC = FCaIR - d FCdIR = FCaIR - IR Notação: I = investimento R = receita D = despesa FCaIR = Fluxo caixa antes do IR FCdIR = Fluxo caixa depois do IR d = cota de depreciação LC = lucro contábil %IR = alíquota do IR IR = valor do IR k = vida contábil n = vida útil VR = valor residual 1. SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS Calcular individualmente o VPL e o CAE para cada período.

Melhor período para substituição = menor CAE; maior VPL 16 CAPÍTULO 2: MATEMÁTICA COMERCIAL 2. RAZÃO 2. Conceito: Razão é a relação (divisão) que existe entre dois números quaisquer a e b, com b ≠ 0, ou seja: 𝑎 R=𝑏 2. Mantendo-se essa razão durante todo o expediente bancário, quantos clientes serão atendidos em 40 minutos? 2. Dados: a = 5 minutos b = 3 clientes c = 40 minutos d=? 2. Solução pela fórmula: 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 17 5 3 = 40 𝑑. d = 3. d= 3. anos 2. Dados: L1 + L2 = R$ 95. G1: c = 16 anos G2: d = 10 anos L1 = ?. L2 = ? 2. Solução pela fórmula: 𝐿1 𝑐 = 𝐿2 𝑑 = 𝐿1+𝐿2 𝐿1 𝑐+𝑑 16 𝐿2 95000. G2. Dados: 2. L1 = 0,00011+0,00014. L1 = 10,45. L1 = R$ 41. L2: 1 7000 95. Visor: 53. Diretamente e Inversamente proporcional 𝐿1 𝑐. 𝑎 𝑏 Notação: L1= Lucro sócio G1 L2 = Lucro sócio G2 a = variável sócio G1 c = variável sócio G1 b = variável sócio G2 d = variável sócio G2 2.

Enunciado: O proprietário de uma fábrica resolveu distribuir entre seus dois Gerentes parte do lucro no valor de R$ 95. c = 16 anos. d = 10 anos Solução pela fórmula: 𝐿1+𝐿2 𝑐. L1 + L2 = R$ 95. G1: a = R$ 9. G2: b = R$ 7. Diretamente Proporcional 2. Enunciado: Um vendedor ambulante vende em média por semana (6 dias trabalhados) o equivalente a R$ 942,00. Trabalhando efetivamente 20 dias no mês, terá vendido quanto? 2. Dados: dias R$ dias R$ b a 6 942 c x 20 x 2. Solução pela fórmula: 𝑎 𝑥 = 𝑏 942 𝑐 𝑥 = 6. x = 28. Homens 28 x dias 21 3. x = 48 homens Solução pela HP: Visor = 48 2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 2. Conceito: Quando no mesmo exercício estão envolvidas no mínimo 6 grandezas, sendo uma delas a incógnita, podendo ser diretamente ou inversamente proporcional. x = 13 dias 2. Solução pela HP: X: 8 6 2548 7 1344 Visor = 13 2. PORCENTAGEM 2.

PORCENTAGEM 2. Conceito: É o valor correspondente a um percentual de outro valor. A concessionária lhe oferece um desconto de 8%. Qual o valor do custo total do carro? 2. Dados: 𝑉𝑖 = R$ 50. i=8% 𝑉𝑓 = ? 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 ± i. Ajuste do i: i = 100. i = 0,08 2. Solução pela fórmula: 𝑉𝑓 = 50000 + 0,08. 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 ± i. 𝑉𝑓 = R$ 54. Solução pela HP: 𝑉𝑓 : 50000 8 Visor: 54. i = 14,25 % 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 ± i. i: 4000 4570 Solução pela HP: Visor = 14,25 2. Redução do valor: 2. Enunciado: Sua família tinha há 12 meses atrás uma renda conjunta de R$ 4. Hoje, esse valor está em R$ 4. PORCENTAGEM DO TOTAL 2. a um valor total. Conceito: é a percentagem de cada variável com relação 24 2. Enunciado: No mês passado sua empresa teve vendas de R$ 3,92 milhões nos EUA, R$ 2,36 milhões na Europa, e R$ 1,67 milhões no resto do mundo. Qual a percentagem das vendas totais que ocorreram na Europa? 2.

d = 211 + 311. d = 522 dias 2. d: 03,062005 07,112006 Solução pela HP: Visor = 522 2. Cálculo de uma data posterior a partir de uma data anterior 25 2. Enunciado: Você aplica uma determinada quantia em um banco no dia 25/11/2005. Enunciado: Você resgata uma determinada quantia em um banco no dia 20/03/2006. O dinheiro foi aplicado 115 dias antes. Determinar a data da aplicação. Dados: D2 = 20/03/2006 d = 115 dias D1 = ? 2. Solução pela fórmula: 2006: d2 = 20 + 28 + 31. Dados: M = R$ 5. J = composto i = 10 % a. a. n=2a+7m C=? 2. Ajuste do n: Anos 1 meses 12 7 X x = 0,58333 anos. Enunciado: sabendo que o montante de uma aplicação é de R$ 5. com uma taxa de juros de 10 % ao ano no regime de capitalização composta, durante 2 anos e 7 meses, qual o capital utilizado na convenção linear? 2. Dados: M = R$ 5. J = composto i = 10 % a. a.

TAXA DE JUROS 2. TAXA DE JUROS ACUMULADA (𝒊𝒂𝒄 ) 2. Conceito: A partir de duas ou mais taxas efetivas, obtém-se a taxa acumulada. Enunciado: calcular a taxa acumulada referente às taxas efetivas de 8% e 12% a. p. TAXA DE JUROS MÉDIA (𝒊𝒎 ) 2. Conceito: A partir da taxa acumulada de duas ou mais taxas efetivas, obtém-se a taxa média. Enunciado: Calcular a taxa média referente às taxas efetivas de 8% e 12% a. p. Dados: 𝑖𝐸1 = 8 % a. Conceito: A partir da taxa acumulada de duas ou mais taxas efetivas, e da taxa de inflação, obtém-se a taxa real. Enunciado: Calcular a taxa real referente às taxas efetivas de 8% e 12% a. p. Dados: 𝑖𝐸1 = 8 % a. p. COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO (CF): 2. Conceito: É o valor tabelado que deve ser relacionado a outras variáveis no intuito de definir o valor da prestação.

Enunciado: Uma loja está vendendo um aparelho de TV por R$ 1. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5 % ao mês, calcular o valor das prestações, se fizermos o pagamento em 3 vezes sem entrada, utilizando o coeficiente de financiamento. 𝑉𝑖 = R$ 1. Enunciado: Supondo que se queira resgatar uma duplicata no valor nominal de R$ 15. com 50 dias de antecedência ao seu vencimento. A taxa de desconto nominal cobrada pelo banco é de 3,3 % ao mês, sendo que a taxa de IOF é de 0,0041 % ao dia, e a taxa de administração é de 1,5 %. Calcular o valor líquido de resgate, e o custo efetivo desta operação. Dados: T = 15. T IOF = 0,000041. TA = 0,015. 𝐷𝑇 = 𝐷𝐶 + IOF + TA VR = T - 𝐷𝑇 𝐷𝑇 = T - VR 𝐷 𝑖𝐸 = 𝑉𝑅𝑇 𝐷𝑇 = 825,00 + 30,75 + 225,00. VR = 15. R$ 13. à taxa de 2% a. m. durante 125 dias, considerando o regime de capitalização a juros simples.

Dados: 𝑉𝑖 = R$ 10. i = 2 % a. Cálculo pela HP: J e 𝑉𝑓 : 10000 0 24 125 visor = 833,33 visor = 10. Atenção: No caso de juros simples deve-se observar na calculadora HP o seguinte: 1) Deverá ser introduzida a taxa de juros (i) ao ano e em %, e o período (n) em dias. Somente pode ser calculado os Juros (J) e o Montante (𝑉𝑓 ). JUROS COMPOSTOS 3. Montante, Capital e Juros 3. 𝑖𝑁2 = 0,00066 a. d. Fluxo de caixa: 0 125 Dias 𝑉𝑖 3. Cálculo pelas fórmulas: Obs: concentrar os valores de entrada e saída no tempo 0: ∑E = ∑S 𝑉𝑖. 𝑉𝑓 = R$ 10. n = 4 meses i = 1,5% a. m. 𝑉𝑖1 = ? J = composto 3. Fluxo de caixa: 𝑉𝑖1 0 4 meses 𝑉𝑖 3. Cálculo pela fórmula: Obs. 𝑉𝑖1 = ? J = composto 𝑉𝑖 0 4 meses 𝑉𝑖1 3. Cálculo pela fórmula: Obs. concentrando todos os valores de entrada e saída no tempo 0: 34. ∑E = ∑S 𝑉𝑖 𝑉 (1+𝑖)𝑛 𝑖1 = (1+𝑖) 𝑛 𝑉𝑖. 𝑉𝑖1 = 1000 1,06136 𝑉𝑖1 = R$ 942,19 3. Fluxo de caixa: 𝑉𝑖 0 3 𝑃𝐸 6 𝑃1 10 𝑃2 𝑃3 3. Cálculo pelas fórmulas: Obs.

concentrando todos os valores no tempo 0: ∑E = ∑S 1000 (1+0,012)0. meses 35 𝑃 3 238,18 = 1,12669. 𝑃3 = R$ 268,35 3. Dados: 0 1 postecipado: n= p p = nº prestações 2 10 Pi meses 36 3. Cálculo pelas fórmulas: Obs. concentrando todos os valores no tempo 0 (para o tempo anterior): (1 + 𝑖)𝑛 ∑E=∑S 𝑽𝒊 (1+𝑖) 𝑽𝒊 𝑛 = ∑𝑃𝑖. 𝑉𝑖 = R$ 1894,17 3. Cálculo pela HP: 𝑉𝑖 : 199,99 0 10 1 visor = 1894,17 3. Cálculo pelas fórmulas: 𝑉 𝑖 𝑉𝑖1 = (1+𝑖) 𝑛 ∑E=∑S 𝑽𝒊𝟏 ∑ 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖. Logo: 𝑉𝑖1 𝑽𝒊𝟏 = 𝑃𝑖 (1+0,01)0 𝑉𝑖1 = 𝑃𝑖. 𝑉𝑖1 = R$ 1894,17 (1+0,01)10. 𝑉𝑖 = R$ 1. Cálculo pela HP: 𝑉𝑖 : 199,99 0 1 10 visor = 1. 𝑖)𝑛 𝑉𝑖1 = 983,44 𝑉𝑖1 0 1 9 meses O novo fluxo de caixa então é: n = 9 meses 𝑃𝑖 Obs: concentrando os valores no tempo 0 (tempo anterior): 𝑽𝒊𝟏 ∑E=∑S ∑ 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖 𝑽𝒊𝟏 = 𝑃𝑖 (1+0,03)0 = ∑𝑃𝑖. 𝑖 = 0,30477 𝑃𝑖 x 𝑃𝑖. 𝑃𝑖 = R$ 126,31 0,039143 3. Cálculo pela HP: 𝑉𝑖1 : 899,99 𝑃𝑖 : 983,44 0 3 3 9 3 0 visor = - 983,44 visor = - 126,31 3. TAXAS DE JUROS 3. iE2 = 24 % a. a. iN2 : 0,02 12 1 100 visor = 24 3. Taxas Equivalentes (Juros compostos) 3. Capitalização igual 3. Capitalização diferente 3. Conceito: Quando é fornecida uma taxa de juros (𝑖𝑁 ), sendo capitalizada em um tempo diferente (𝑖𝐶 ), obtém-se outra taxa diferente (𝑖𝐸 ), e que produzem montantes diferentes no final do mesmo prazo, no regime de juros compostos.

Enunciado: Determinar a taxa efetiva mensal que é equivalente à taxa nominal de 8,5% ao ano, capitalizados trimestralmente. Dados: 𝑖𝑁 = 2 % a. m. Valor nominal: valor do título na data do seu vencimento. Desconto Racional (por dentro): 3. simples: 3. Conceito: é o equivalente ao juro simples produzido pelo valor atual do título com a aplicação de uma taxa de juros fixada durante o tempo correspondente, no regime de juros simples. Enunciado: Determinar o valor do desconto racional de um título de R$ 1. VA = R$ 892,85 41 VA: 1000 1 0,01 DRS: 1000 892,85 12 visor = 892,85 visor = 107,15 3. composto: 3. Conceito: é o equivalente ao juro composto produzido pelo valor atual do título com a aplicação de uma taxa de juros fixada durante o tempo correspondente, no regime de juros compostos. Enunciado: Determinar o valor do desconto racional de um título de R$ 1.

e a quantia do valor atual, a uma taxa efetiva de 1 % ao mês, 12 meses antes do seu vencimento, no regime de juros compostos. Desconto comercial (p/fora): 3. simples: 3. Conceito: é o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do título com a aplicação de uma taxa de desconto fixada durante o tempo correspondente, no regime de juros simples. Enunciado: Determinar o valor do desconto comercial de um título de R$ 1. e a quantia do valor atual, a uma taxa efetiva de 1 % ao mês, 12 meses antes do seu vencimento, no regime de juros simples. Conceito: é o equivalente ao juro composto produzido pelo valor nominal do título com a aplicação de uma taxa de desconto fixada durante o tempo correspondente, no regime de juros compostos. Enunciado: Determinar o valor do desconto comercial de um título de R$ 1.

e a quantia do valor atual, a uma taxa efetiva de 1 % ao mês, 12 meses antes do seu vencimento, no regime de juros compostos. Dados: DCC =? VA =? VN = R$ 1. 𝑖𝑑 = 1% a. Sistema de amortização constante – SAC Conceito: É quando o valor das amortizações são constantes, o saldo devedor é decrescente, os juros são decrescentes, e as prestações são decrescentes, ao longo de todo o período. sem carência 3. Enunciado: Um empréstimo de R$ 10. contratado a juros efetivos de 10% ao ano será pago em 5 prestações anuais pelo sistema SAC. Construir a planilha de financiamento, sem carência. Cálculo pela HP: m: 10000. visor = 2. 𝐽1 = R$ 1. 𝑃1 = R$ 3. 𝑆𝐷1 = R$ 8. Enunciado: Um empréstimo de R$ 10. contratado a juros efetivos de 10% ao ano será pago em 5 prestações anuais pelo sistema SAC.

Construir a planilha de financiamento, com carência de 2 anos e sem juros. Dados: 𝑉𝑖 = R$ 10. i = 10% a. i. i 𝑃𝑛 = 𝐽𝑛 + m. m = 2. 𝑃3 = 𝐽3 + m. 𝑆𝐷𝑛 = 𝑆𝐷𝑛−1 - m. Tabela: 46 Vi= i= n= DADOS R$ 10. a. a. anos 5 Sistema SAC carência 2 anos Juros não tabela de amortização - SAC (c/carência - s/juros) SD m J Pi 10. Total 12. Cálculo pelas fórmulas: Período de carência: 𝑆𝐷0 = 𝑆𝐷1 = 𝑆𝐷2 = R$ 10. i 𝐽1 = 𝑆𝐷0. i m = 𝑚1 = 𝑚2 = 0. 𝑃1 = 𝑃2 = 𝐽1 + m. 𝑃𝑛 = 𝐽𝑛 + m 𝐽1 = 𝐽2 = R$ 1. Cálculo pela HP: 𝑆𝐷3 = R$ 8. 𝐽1 =𝐽2 : 10000 0,1 𝑃1 = 𝑃2 : 1000 0 m: 12100 J3 : 10000 𝑃3 : 1000 𝑆𝐷3 : 10000 5 visor = 1. visor = 1. visor = 2. visor = 1. Sem construir a tabela, calcular o saldo devedor, os juros, e a amortização, após o pagamento da 4ª prestação, sem carência. Dados: 𝑉𝑖 = R$ 10. i = 10% a. a. n = 5 (anual) tabela = SAC 𝑆𝐷4 = ? 𝐽4 = ? 𝑚4 = ? 48 3. 𝑃 = 𝐽 + m 1 1 𝑃𝑛 = 𝐽𝑛 + m. 𝑃1 = R$ 3. 𝑃4 = R$ 2. 𝑃4 = 𝐽4 + m. 𝐽4 = R$ 400,00 2. Enunciado: Um empréstimo de R$ 10.

contratado a juros efetivos de 10% ao ano será pago em 5 prestações anuais pelo sistema Price. Construir a planilha de financiamento, sem carência. 𝑉𝑖 = R$ 10. i = 10% a. visor = 8. Tabela:. DADOS Vi= R$ 10. i= 10% a. a. n = 5 (anual) Tabela Price =? carência = 2 anos 3. Cálculo pelas fórmulas: Período de carência: 𝐽1 = 𝐽2 = 0. 𝑚1 = 𝑚2 = 0 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖 ± i. VVVVVVViVVV. 𝑉 𝑓 = 𝑉𝑖 ± i. i= 10% a. a. n= 5 anos 5 Sistema Price carência 2 anos Juros não tabela de amortização - Price (c/carência - s/juros) n SD m J Pi 0 10. Total 12. com carência e com juros 3. J = 𝐽1 = 𝐽2 = 𝐽3 = 1. 𝑃1 = 𝑃2 = J + 0. Período após a carência: ∑ 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖. Cálculo pela HP: 𝐽1 = 𝐽2 = 𝐽3 : 10000 𝑃1 = 𝑃2 : 1000 0,1 0 𝑃𝑖 : 10000 visor = 1. visor = 1. Exercício prático: 3. Enunciado: Um empréstimo de R$ 10. contratado a juros efetivos de 10% ao ano será pago em 5 prestações anuais pelo sistema Price.

Sem construir a tabela, calcular o saldo devedor, os juros, e a amortização, após o pagamento da 4ª prestação, sem carência. Dados: 𝑉𝑖 = R$ 10. Cálculo pela HP: 10 visor = 2. visor = 2. 𝐽4 : 2637,97 2180,14 𝑆𝐷4 : 10000 2637,97 2180,14 visor = 457,83 1000 1 0,1 0,1 visor = 2. Sistema de amortização americano Conceito: É quando a devolução do capital financiado é efetuada de uma só vez no final do período, não havendo, portanto, amortizações intermediárias, somente juros, os quais serão constantes e iguais aos valores das prestações ao longo de todo o período. Sem carência 3. Tabela: Vi= i= n= DADOS R$ 10. a. a. anos 5 Sistema Americano carência não tabela de amortização - Americano (s/carência) SD m J Pi 10. Total 10. i 𝑃𝑛 = 𝐽𝑛. Cálculo pela HP: 𝐽𝑖 = 𝑃𝑖 : 10000 0,1 visor = 1. Tabela: 𝐽𝑖 = 1. tabela de amortização - Americano n SD m 0 10.

Total 10. a. n = 5 (anual) Tabela Sistema Americano =? Carência = 2 anos 3. Cálculo pelas fórmulas:. i 𝑃𝑛 = 𝐽𝑛 𝑚7 = 𝑆𝐷0. Cálculo pela HP: 𝐽𝑖 = 𝑃𝑖 : 10000 0,1 visor = 1. Enunciado: Uma indústria deseja comprar uma máquina que custa R$ 30. A venda de produtos fabricados pelo equipamento estimada anualmente, assim como também os custos de manutenção anuais estão indicados no quadro abaixo. O retorno esperado do investimento é de 15 % a. a. e a máquina será utilizada durante 6 anos, após os quais ficará com valor residual nulo. Descontado (PBD): Cálculo dos FCD: 𝐹𝐶𝑝1 7000 FCD1 = 1,151. FCD1 = 1,15. FCD1 = 6. 𝐹𝐶𝑝2 9000 𝐹𝐶𝑝3 10000 𝐹𝐶𝑝4 10000 FCD2 = 1,152. FCD2 = 1,32250. 𝑃𝐵𝐷𝑓 = 0,97 anos PBD = 4,97 anos Conclusão: O projeto é viável, pois o valor do payback descontado (PBD) é menor que o prazo do projeto (6 anos). Método do Valor Presente Líquido (VPL): 4. Diagrama do fluxo de caixa: FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FC6 1 2 3 4 5 6 anos 0 I 4.

Cálculo algébrico: 60 VPL = ∑E - ∑S ∑E = ∑E= 𝐹𝐶1 (1+𝑖)1 7000 + 𝐹𝐶2 (1+𝑖)2 9000 + 1,152 + 1,15 + 𝐹𝐶3 (1+𝑖)3 10000 1,153 + + 𝐹𝐶4 (1+𝑖)4 10000 1,154 + + 𝐹𝐶5 + (1+𝑖)5 10000 1,155 + 𝐹𝐶6 (1+𝑖)6 12000 1,156 –I - 30000 ∑E = 6086,96 + 6805,29 + 6575,16 + 5717,52 + 4971,76 + 5187,93 - 30000,00 ∑E = R$ 35344,62 ∑S = I. I = 30000,00. i 30 % VPL -6057,61 15 % X 11. TIR = ? 0 15 % 5344. x= 15. x = 7,03 % TIR = 15 % + 7,03 %. TIR = 22,03 % 4. Cálculo do custo anual equivalente (CAE): Neste caso considera-se somente as despesas do investimento: 0 1 2 D1 D2 4. Diagrama do fluxo de caixa: 3 4 5 6 D3 D4 D5 D6 anos I 4. Cálculo algébrico: VPL = ∑E - ∑S VPL = ∑E - ∑S 𝐷1 𝐷2 𝐷3. VPL = 0 - ∑S 𝐷4 𝐷5 CAE =. VPL = ∑S 𝐷6 ∑S =(1+𝑖)1 + (1+𝑖)2 + (1+𝑖)3 + (1+𝑖)4 + (1+𝑖)5 + (1+𝑖)6 + I ∑S = 3000 1,15 3000 3000 5000 6000 𝑉𝑃𝐿(𝑆) = ∑S 8000 + 1,32 + 1,52 + 1,75 + 2,01 +2,31 + 30000 ∑S = 2608 + 2272 + 1974 + 2857 + 2985 + 3463 + 30000 Logo: VPL = 46159. VPL = ∑E - 0. VPL = ∑E BAE = 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅5 𝑅6 ∑E = (1+𝑖)1 + (1+𝑖)2 + (1+𝑖)3 + (1+𝑖)4 + (1+𝑖)5 + (1+𝑖)6 10000 ∑E = 1,15 + 12000 1,32 13000 + 1,52 + 15000 1,75 + 16000 2,01 𝑉𝑃𝐿(𝐸) (1+𝑖)𝑛−1 (1+𝑖)𝑛. 𝑖 𝑉𝑃𝐿(𝐸) = ∑E 20000 + 2,31 ∑E = 8695 + 9090 + 8552 + 8571 + 7960 + 8658. ∑E = 51526 ∑ 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖 Logo: VPL = 51526 VPL = 𝐵𝐴𝐸. BAE. n Investimento Receita Despesa Fluxo geral 0 30. Dados: TMA = 15 % a. a. n = 6 anos I = 30. Cálculo dos métodos: 4. FCD3 = 1,52088. FCD4 = 1,154. FCD4 = 1,74901. FCD2 = 6805,29 FCD3 = 5917,62 FCD4 = 5145,76 65 𝐹𝐶𝑝5 9000 𝐹𝐶𝑝6 9000 FCD5 = 1,155. FCD5 = 2,01136. VPL = 9000. VPL = 9000. 𝑖 - I. VPL = R$ 4. Observação: O valor do VPL encontrado, deve ser o mesmo do FCDc do último ano encontrado no cálculo do PBD.

Cálculo pela HP: TIR: 30000 9000 6 4. Conclusão: O projeto é viável pois TIR › TMA 4. Método do Índice de lucratividade (IL): 4. Diagrama do fluxo de caixa: FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FC6 1 2 3 4 5 6 anos 0 I visor = 19,90 % 67 4. Cálculo algébrico: 𝑉𝑃𝐿 𝐹𝐶1 𝑉𝑃𝐿𝐸 = (1+𝑖) 9000 𝑉𝑃𝐿𝐸 = 1,15 1 + 𝐹𝐶2 (1+𝑖) 9000 2 + 𝐹𝐶3 (1+𝑖) 3 + 9000 𝐹𝐶4 (1+𝑖) 9000 4 + 𝐹𝐶5 (1+𝑖) 9000 5 + IL = 𝑉𝑃𝐿𝐸 𝑆 𝐹𝐶6 (1+𝑖)6 9000 + 1,152 + 1,153 + 1,154 + 1,155 + 1,156 𝑉𝑃𝐿𝐸 = 7826 + 6818 + 5921 + 5143 + 4478 + 3896. CAE. ∑S = 41358,00. CAE = R$ 10. 𝑖 68 0 1 2 3 4 5 6 anos CAE 4. ∑S + I = VPL: Cálculo pela HP: 30000 3000 Visor = 41353,45 CAE: 41353,45 15 6 6 15 visor = - 10. BAE = R$ 12. 𝑖 69 𝑉𝑃𝐿𝐸 : 12000 BAE: 45413,79 6 15 15 6 visor = 45. visor = 12. DECISÃO SOBRE A MELHOR ALTERNATIVA ENTRE DOIS OU MAIS INVESTIMENTOS: 4. Análise pelo método do Payback (PB): Calcula-se os valores do Payback (PB) para cada um dos investimentos. O melhor investimento é o que possui o maior BAE. DEPRECIAÇÃO 4. Enunciado: Um fabricante de parafusos está analisando a possibilidade de adquirir um torno automático para a sua linha de produção. O valor do equipamento é de R$ 30.

com vida econômica útil de 6 anos. Dados: I = 30. n = 6 anos k = 4 anos VR = 2. R = 15. ano TMA = 15% a. a. d = 7000,00 IR = %IR. LC LC = FCaIR – d FCdIR = FCaIR - IR 4. Diagrama do fluxo de caixa: FCdIR Anos 0 1 2 3 4 5 6 I 4. Cálculo algébrico: VPL = ∑E - ∑S VPL = 𝐹𝐶𝑑𝐼𝑅1 (1+𝑖)1 + 𝐹𝐶𝑑𝐼𝑅2 (1+𝑖)2 + 𝐹𝐶𝑑𝐼𝑅3 (1+𝑖)3 + 𝐹𝐶𝑑𝐼𝑅4 (1+𝑖)4 + 𝐹𝐶𝑑𝐼𝑅5 (1+𝑖)5 + 𝐹𝐶𝑑𝐼𝑅6 (1+𝑖)6 FCdIR –I Legenda: I = investimento R = receita D = despesa FCaIR = Fluxo caixa antes do IR FCdIR = Fluxo caixa depois do IR d = cota de depreciação LC = lucro contábil %IR = alíquota do IR IR = valor do IR k = vida contábil n = vida útil VR = valor residual 71 VPL = 11550 + 1,15 10250 1,152 8950 7650 3900 2600 + 1,153 + 1,154 + 1,155 + 1,156 - 30000 VPL = 10043 + 7765 + 5888 + 4371 + 1940 + 1125 - 30000,00 VPL = R$ 1. Cálculo pela HP: VPL: 30000 11550 3900 10250 2600 8950 15 4. C1 = 10800 Ano 2: VR2 = 31100. C2 = 14400 Ano 3: VR3 = 26700. C3 = 19600 Ano 4: VR4 = 20500. C4 = 26900 Ano 5: VR5 = 15400. C5 = 34100 TMA = 12% a. Conclusão: O veículo deve ser substituído no 2º ano, onde o CAE tem o menor valor.

CAPÍTULO 5: EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 5. EXERCÍCIOS de JUROS SIMPLES e COMPOSTOS 5. REVISÃO: Deslocamento para o futuro Deslocamento para o passado Juros simples: x (1+ i. n ) Juros compostos: x (1 + 𝑖)𝑛 Juros simples: ÷ (1+ i. aplicados por 180 dias à taxa de juros simples de 3 % a. m. R: J =R$ 360,00 3) Calcular em quanto tempo um capital aplicado no regime de juros simples a uma taxa anual de 48 %, dobra de valor. R: n=25 meses 4) Apliquei a juros simples a metade do capital que possuía à taxa de 48 % a. s. R: n = 11 meses 75 7) Qual o capital investido numa aplicação financeira à taxa de juros composta de 2 % ao mês, dado que os rendimentos ao final de um ano totalizaram R$ 1. R: PV = R$ 5. Qual o montante acumulado ao final de 9 meses para uma aplicação de R$ 20.

à taxa de juros composta de 1 % ao mês? R: FV = R$ 21. Qual a taxa anual de juros compostos necessária para que uma aplicação de R$ 1. a. Qual a taxa efetiva de juros anual equivalente a taxa efetiva de 2% ao trimestre em juros compostos? R: i = 8,24 % a. a. Qual é a taxa efetiva anual equivalente à taxa de 12 % ao ano, capitalizados trimestralmente? R: i = 12,55 % a. a. Foi acertado uma taxa de juros composta de 3% ao mês, sendo que o primeiro pagamento será de R$ 2000,00, no fim do terceiro mês após o recebimento do empréstimo, mais um pagamento de R$ 2000,00, dois meses após o vencimento da primeira parcela , e uma última parcela que será paga 3 meses após o vencimento da segunda parcela. Calcular o valor da última parcela.

R: P3 = R$ 1829,85 2) Uma mercadoria com valor a vista de R$ 1978,18 é financiada em 10 prestações mensais e iguais, e sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros composta cobrada pela loja é de 4,5% ao mês, calcular o valor das prestações dessa mercadoria. R: Pi = R$ 250,00. Qual será o valor das prestações se um cliente optar por 6 prestações iguais e mensais, sendo a primeira com vencimento um mês após a compra? R: Pi = R$ 32,13 8) Foram depositados R$ 35,00 no fim de cada mês à taxa de juros compostos de 18% ao mês. Calcular a quantidade de investimentos realizados, sabendo-se que estes depósitos produziram um montante de R$ 7222,07. R: p = 22 depósitos 5. EXERCÍCIOS de DESCONTOS 5. REVISÃO: Desconto racional simples (DRS): N = A. m. Determinar a taxa de juros composto mensal equivalente à taxa de descontos composto de 12% ao mês, no prazo de 53 dias.

R: 𝒊𝒋 = 13,64 % a. m. EXERCÍCIOS de AMORTIZAÇÃO 5. calcular pelos sistemas de amortização SAP e SAC, os seguintes dados: a) Juros pagos na primeira prestação; b) A oitava quota de amortização; c) Juros pagos juntamente com a oitava cota de amortização; d) A oitava prestação; e) O montante já pago após o pagamento da oitava prestação; f) O saldo devedor após o pagamento da oitava prestação; g) O total de juros pagos até a oitava prestação (inclusive). somente para o SAP) 79 SAP: a) R: 𝑱𝟏 = R$ 200,00 b) R: 𝒎𝟖 = R$ 873,59 c) R: 𝑱𝟖 = R$ 89,14 d) R: 𝑷𝟖 = R$ 945,60 e) R: ∑ 𝒎𝟖 = R$ 6399,46 f) R: 𝑺𝑫𝟖 = R$ 3600,54 g) R: ∑ 𝑱𝟖 = R$ 1165,34 SAC: a) R: 𝑱𝟏 = R$ 200,00 b) R: 𝒎𝟖 = R$ 833,33 c) R: 𝑱𝟖 = R$ 83,33 d) R: 𝑷𝟖 = R$ 916,66 e) R: ∑ 𝒎𝟖 = R$ 6666,64 f) R: 𝑺𝑫𝟖 = R$ 3333,36 g) não precisa calcular 2) Construir as planilhas referentes ao exercício anterior.

Qual o melhor sistema de amortização para quem recebe o empréstimo? Justifique. R: Melhor alternativa é o SAC, pois o valor total das prestações é menor. EXERCÍCIOS de ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 5. por ano. Ao final de 8 anos espera-se vender o equipamento por R$ 200. Se a TMA= 15% ao ano, decidir se este projeto deve ser concretizado. Calcular pelos métodos Payback descontado, VPL, e TIR. R: Sim, pois PB‹n, VPL›0, e TIR›TMA. Vida estimada 10 anos 10 anos Sendo a TMA de 20% a. a. qual a melhor alternativa utilizando o critério do VPL e do CAE? 81 R: 𝑽𝑷𝑳𝑨 = - R$ 108849,00; 𝑪𝑨𝑬𝑨 = R$ 25. 𝑽𝑷𝑳𝑩 = - R$ 111426,00; 𝑪𝑨𝑬𝑩 = R$ 26. A melhor alternativa é o projeto A, pois 𝑽𝑷𝑳𝑨 › 𝑽𝑷𝑳𝑩 , e 𝑪𝑨𝑬𝑨 ‹ 𝑪𝑨𝑬𝑩 3) Um equipamento foi comprado por R$ 60. O projeto é viável pois o VPL › 0 4) Considerando um custo de capital de 10% a.

a. determinar o tempo ótimo de reposição de um equipamento pelo método VPL, cujo preço atual é de R$ 7. O equipamento tem um tempo de vida útil de 5 anos e gera uma receita operacional de R$ 2. ano, mas poderá ser utilizado até o término da vida útil, ou substituído antes desse prazo por um novo equipamento idêntico e de mesmo valor. Outro aspecto interessante é que o próprio aluno, através da prática da utilização desta ferramenta, poderá elaborar os roteiros específicos de cada conteúdo. Para que este trabalho fosse criado, tive como motivação e idealização os meus próprios alunos, que tiveram sucesso na sua aprendizagem à medida que foram utilizando esta metodologia. E finalmente poderemos acessar a seguir alguns dados do autor, professor George Hessel, o qual foi o criador e editor deste trabalho, incluindo o vídeo anexado ao mesmo.

O referido e-book poderá, no caso do interesse do aluno, ser adquirido através do link a seguir: https://go. hotmart. E-mail: aulas. hessel@gmail. com URL: http://www. aulasmatematicafinanceira. com YouTube: canal FINANÇAS HESSEL.