Análise de Variância

S AULO JARDIM 1. I NTRODUÇ ÃO Análise de Variância (ANOVA) é um procedimento usado para comparar a distribuição de três ou mais grupos em amostras independentes. ANOVA também pode ser utilizada para resumir um modelo de regressão linear através da decomposição da soma dos quadrados para cada fonte de variação no modelo e, utilizando o teste F , desenvolvido por Fisher, testar a hipótese de que qualquer fonte de variação no modelo é igual a zero. Podemos exemplificar ANOVA, supondo que no curso de Engenharia Mecânica da UFRJ tenha em seu corpo docente três professores de Probabilidade e Estatı́stica, que são responsáveis por diferentes turmas de alunos. A direção da escola suspeita que a variação do desempenho dos alunos nas provas de Probabilidade Estatı́stica pode ser explicada pelo trabalho desenvolvido pelos seus professores.

Se H0 : µ1 = µ2 =. µk = µ é verdadeira, tem-se que: Pk Pn 2 i=1 j=1 (yij − ȳ) 2 ST = (3) n−1 ST 2 será um estimador de σ 2. Por outro lado, se H0 não for verdadeira, ST 2 irá superestimar σ2. P P Ao numerador ki=1 nj=1 (yij − ȳ)2 denomina-se variação total (QT ). PP (y −ȳ)2 ij , tem-se a distribuição qui-quadrado com (n − 1) graus Pelo Teorema de Fisher: σ2 de liberdade. Cada grupo é formado por 7 pesquisadores. Calcule o F (ANOVA), com nı́vel de significância de 5%, para averiguar se as diferenças na produção de artigos nestas universidades é estatisticamente significante. Solução: 3 3. EXEMPLO DE ANOVA Média total: ȳ = 152 = 5, 43 28 (11) Cálculo dos quadrados dos desvios em relação à média: Cálculo da soma dos quadrados (QR) para cada grupo: QR = 5, 71 + 16, 86 + 4 + 13, 43 = 40 (12) Cálculo do somatório dos quadrados dos desvios a partir da média total dos grupos: Cálculo da soma dos quadrados entre os grupos: QE = 14, 979 × 7 = 104, 85 (13) Cálculo do quadrado médio dentro e entre os grupos: SR2 = 40 = 1, 666 24 (14) SE 2 = 104, 85 = 34, 95 3 (15) e 4 REFER ÊNCIAS Cálculo de F : F = 34, 95 = 21, 05 1, 666 (16) Organizando os cálculos na tabela ANOVA, temos: Table 2- Tabela ANOVA do exemplo.

Causas de Graus de Variação Liberdade Tratamentos 4 − 1 = 3 Resı́duo 28 − 4 = 24 Soma de Quadrados Fcal Quadrados Médios 104, 85 34, 95 21, 05 40 1, 666 Como Fcal > F0,05 (21, 05 > 3, 01) com significância de 5%, podemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, as diferenças na produção de artigos são estatisticamente significantes entre as 4 universidades. Curso de estatı́stica. ed. reimpr. São Paulo: Atlas, 2011. Morettin, P. Disponı́vel em: http://www. cpaqv. org/estatistica/anova. pdf. Acesso em: 22 de julho de 2018.