Solução de EDO por método de Taylor

Tipo de documento:Revisão Textual

Área de estudo:Gastronomia

Documento 1

Método de Taylor Considere o Problema de Valor Inicial bem-posto y ' (t) = f (t , y), a ≤ t ≤ b , y (a)=α Suponha que a solução y(t) deste problema tenha n + 1 derivadas contínuas. Neste caso, podemos aproximar y, em torno de ti, pelo polinômio de Taylor (t i+1−t i )2 (t i+ 1−t i )(n+1) (n+1) y (t i+1 ) = y(t i )+(t i+1−t i ) y ' (t i )+ y ' ' (t i )+. y (ξ i ) 2! (n+1)! com ξ i = ∈ (t i , t (i+1)). Como h = t i+1−t i , temos h2 h( n+1) (n+1) y (t i+1 ) = y(t i )+hy ' (t i )+ y ' ' (t i )+. y (ξ i) , 2! (n+1)! com ξ i ∈ (t i , t i+1). Utilize o Método de Taylor de segunda, com N = 10, para aproximar a solução deste problema.

Para aplicar o Método de Taylor de segunda, vamos precisar calcular até a terceira derivada de f em relação à variável t: f ' (t , y(t )) = y ' (t)−2t = y − t 2 −2t +1 2 2 f ' ' (t , y(t )) = y ' (t )− 2t − 2 = y − t +1−2 t −2 = y − t −2t −1 f ' ' ' (t , y(t )) = y ' (t)− 2t − 2 = y −t 2+1− 2t − 2 = y − t 2 −2 t −1. Como a = 0, b = 2 e N = 10, temos que h t i = a+hi = 0+0,2i = 0,2i. b−a 2−0 = = 0,2 e N 10 Assim, h h T (2)(t i , ωi ) = f (t i , ωi )+ f ' (t i , ωi ) = ωi − t 2i +1+ (ωi −t 2i − 2t i +1) = ¿ 2 2 h (1+ )(ωi −t 2i +1)−ht i = 1. ωi −(0. i 2 − 0. i+1. ωi − 0. i2 −0. i +0.

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