Corrente alternada

Fernando Luiz Rosa Mussoi Versão 3. – 17 de março de 2006 NOTA DO AUTOR Esta apostila é um material de apoio didático utilizado pelo autor nas suas aulas das disciplinas ministradas na Gerência Educacional de Eletrônica do Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina (CEFET/SC). Este material não tem a pretensão de esgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado. Tem por objetivo facilitar a dinâmica de aula, com expressivos ganhos de tempo, além de dar uma primeira orientação e compreensão aos alunos sobre o assunto abordado. Este trabalho foi construído com base nas referências bibliográficas, citadas ao longo do texto, nas notas de aula e na experiência do autor na abordagem do assunto com os seus alunos.

Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 3 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Índice NOTA DO AUTOR. TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS SENOIDAIS. GERAÇÃO DE CORRENTE ALTERNADA. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DO GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA. VALOR MÉDIO. VALOR EFICAZ. FATOR DE FORMA. FASE INICIAL E DEFASAGEM ANGULAR. OSCILOSCÓPIO. Recíproco ou Inverso de um número complexo. Adição e Subtração de números complexos. Multiplicação de números complexos. Divisão de números complexos. Potenciação de números complexos. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 4 6. RESISTOR EM CORRENTE ALTERNADA. Exercícios:. Modelo do Indutor Real. Exercícios:. IMPEDÂNCIA. Diagrama de Impedâncias e Triângulo de Impedâncias.

Associação de Impedâncias:. POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA EM CORRENTE ALTERNADA. POTÊNCIA INSTANTÂNEA. POTÊNCIA MÉDIA OU POTÊNCIA ATIVA. ESTUDO DA POTÊNCIA NO RESISTOR, NO INDUTOR E NO CAPACITOR. Potência no Resistor. EXERCÍCIOS. EXERCÍCIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:. ANEXOS. A. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 5 A. TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA. A. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 6 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 1. TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS SENOIDAIS Uma forma de onda de um sinal de tensão ou corrente alternada é aquela onde a intensidade e a polaridade alteram-se ao longo do tempo.

Em geral são sinais periódicos como as formas de onda apresentadas na figura 1. Nos centros de consumo a tensão é novamente reduzida e distribuída aos consumidores. Os motores de corrente alternada são construtivamente menos complexos que os motores de corrente contínua. Isto é uma grande vantagem pois, reduz custos e cuidados com a manutenção. Por isso são os mais baratos e os mais usados nos equipamentos. Outra importante razão é a característica típica de comportamento dos circuitos elétricos e seus elementos passivos (R, L e C) quando submetidos a sinais senoidais. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA Quando a região onde um circuito elétrico se encontra apresenta uma variação de fluxo magnético, surge nesse circuito, uma corrente elétrica. Este fenômeno é chamado de indução eletromagnética.

Esta corrente induzida circuila no circuito devido à uma diferença de potencial (tensão), chamada de força eletromotriz induzida (FEM), ou simplesmente, tensão induzida. A indução eletromagnética é regida por duas leis: Lei de Lenz e Lei de Faraday, já estudadas. A Lei de Faraday diz que a Fem (tensão) induzida média em um circuito é igual ao resultado da divisão da variação do fluxo magnético numa bobina com N espiras pelo intervalo de tempo em que ocorre, com sinal trocado. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 8 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS a aproximação do imã, tenta parar o imã, para manter o fluxo magnético constante (variação de fluxo nula). Quando o ímã se afasta, o efeito é contrário e a corrente induzida tem o seu sentido alternado.

Um condutor se movimentando num campo magnético também produz variação de fluxo magnético e sofre, consequentemente, indução magnética de corrente. Há três condições fundamentais que devem existir antes que uma tensão possa ser produzida por magnetismo. • Deve haver um CONDUTOR no qual a tensão será induzida. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 9 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS As figuras 2. e 2. indicam algumas situações de indução de corrente num condutor e o seu sentido, em função da polaridade magnética e do sentido do movimento do condutor. N N N • • S S S Corrente Induzida Nula (a) Corrente Induzida Máxima (b) Corrente Induzida (c) Figura 2. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 10 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Eixo Espira B a S N b Terminais da Espira Sentido de rotação Figura 2.

– Gerador de Corrente Alternada Elementar: espira girando num campo magnético A figura 2. a) ilustra , passo a passo, a indução de uma corrente na espira do gerador de corrente alternada elementar da figura 2. Em t1 os condutores a e b estão se movimentando paralelamente ao fluxo magnético (com sentidos opostos). O eixo horizontal indica os instantes de tempo ou o ângulo do movimento da espira no campo magnético. Como: φ = B ⋅ A ⋅ senθ com a variação do ângulo devido ao movimento de giro da espira no campo magnético, o fluxo φ tem uma variação senoidal e, portanto, como a tensão induzida depende da variação do fluxo, ela assumirá um comportamento também senoidal. Como a tensão e a corrente induzidas dependem da variação do fluxo e este varia de acordo com o seno do ângulo de incidência das linhas no condutor da espira (φ = B.

A. senθ) devido ao movimento giratório da espira, a forma de onda resultante é periódica a cada volta (cíclica) e tem a forma senoidal. indica a forma de onda senoidal produzida pelo giro de 360o (2. π rad) de um condutor de uma espira em um campo magnético. O eixo vertical indica a amplitude da tensão (FEM) induzida. O eixo horizontal pode representar o tempo que a forma de onda leva para completar um ciclo inteiro (período). Cada instante de tempo está relacionado com a posição angular do condutor no campo magnético. Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 13 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS N Tensão Induzida 4 5 4 3 2 6 2 7 1 8 12 x 9 10 x B x 11 6 + 1 7 8 x x - Tempo 1 12 10 S Figura 2.

– Gerando uma onda senoidal através do movimento de rotação de um condutor dentro de um campo magnético [2]. e 2. temos apenas dois pólos magnéticos produzindo um Δφ = 2φ em meia volta. Se tivermos um número p de pólos teremos: Δφ = p ⋅ φ sendo a força eletromotriz induzida proporcional ao número de espiras e = −N ⋅ Δφ Δt substituindo e = −N ⋅ p⋅φ 30 n assim e = −N ⋅ p ⋅φ⋅n 30 onde: e – força eletromotriz (tensão) média induzida [V]; φ - fluxo magnético por pólo [Wb]; p – número de pólos; n – velocidade [rpm]; N – número de espiras O gerador de dois pólos da figura 2. e 2. completa um ciclo a cada rotação. Geradores de 8 e de 2 pólos girando a mesma velocidade Gerador de 8 pólos Gerador de 2 pólos Figura 2.

– Número de pólos magnéticos influencia a freqüência da tensão gerada. Nos circuitos elétricos, fonte de tensão alternada senoidal e fonte de corrente alternada senoidal são representadas como mostra a figura 2. Na convenção adotada, a polaridade da tensão e o sentido da corrente indicado se referem ao semiciclo positivo. v(t) ~ - + i(t) ~ + - Figura 2. A espira em movimento é conectada à carga através de anéis coletores e escovas [2]. Um gerador real consiste de muitas espiras em série e em paralelo formando conjuntos de bobinas. O conjunto das bobinas num gerador é chamado enrolamento, que é montado em torno de um núcleo de aço silício (material ferromagnético) e que constitui a chamada armadura, onde é induzida a força eletromotriz (tensão).

O campo magnético produzido no gerador da figura 2. é criado por um ímã permanente. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 17 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS No gerador CA de armadura giratória o sinal CA gerado é levado à carga através de anéis coletores e escovas deslizantes, como mostra a figura 2. A armadura giratória é encontrada somente em alternadores de baixa potência devido à limitação de corrente nos anéis coletores e escovas. O gerador CA de campo giratório tem o enrolamento de armadura estacionário e o enrolamento de campo girante no rotor (o campo magnético é criado por bobinas – eletroímãs). A vantagem da armadura estacionária é que a tensão gerada pode ser conectada à carga diretamente, sem necessidade de anéis coletores e escovas.

A figura 2. mostra uma turbina hidráulica acionando um gerador. Prof. Fernando L. R. A figura 2. mostra dois tipos de rotores para geradores de pólos girantes e armadura estacionária. O primeiro é adequado para turbinas de alta velocidade como aquelas acionadas por vapor ou gás. A segunda é para turbinas de baixa velocidade como aquelas acionadas por turbinas hidráulicas e motores de explosão. Prof. A Forma de Onda é a curva descrita por uma quantidade (como tensão ou corrente) em função de alguma variável como tempo, posição, ângulo, etc. Essa quantidade assume um valor (amplitude) da forma de onda num determinado instante, chamado Valor Instantâneo, geralmente representado por uma letra minúscula (v ou i, por exemplo). O Valor de Pico (Amplitude Máxima) é o máximo valor da forma de onda medido a partir de seu valor zero (eixo y) e geralmente é representado em letra maiúscula (VP ou IP, por exemplo).

Esses e outros parâmetros importantes das formas de onda senoidais serão estudados neste capítulo. As tensões e correntes elétricas alternadas ou são puramente senoidais, ou podem ser decompostas em uma série de componentes puramente senoidais que compõem o chamado espectro de freqüências do sinal, conhecido como harmônicos. rad) o T (b) Fig. – Formas de onda: (a) da corrente e (b) da tensão em função do tempo e os seus parâmetros. PERÍODO (T): É o tempo necessário para a ocorrência de um ciclo completo de uma função periódica, como mostra a figura 3. Com relação ao gerador elementar estudado no capítulo anterior, Período (T) é o tempo necessário para a espira dar uma volta completa, ou seja, percorrer 360o (2.

π rad). O chamado Espectro de Freqüências está apresentado no anexo A. no final deste trabalho. FREQÜÊNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR (ω): Do estudo da matemática, sabemos que o valor de Pi (π) é uma constante dada pela razão do perímetro da circunferência pelo seu diâmetro: π= C = 3,141592654 D Assim, o perímetro (comprimento) da circunferência pode ser dado por: C = 2 ⋅ π ⋅R O Radiano é uma unidade de medida de ângulo definida por um quadrante de círculo onde a distância percorrida na circunferência (arco) é igual ao raio do círculo, como mostra a figura 3. Essa relação fornece: 1rad = 57,296o 2π rad = 6,28 rad = 360o R 57,296o 1 radiano R Figura3. – radiano como medida de ângulo. Podemos dizer que é a velocidade com que percorremos ângulos num movimento circular (movimento harmônico).

Como podemos medir ângulo em radianos, a freqüência angular ou velocidade angular ω corresponde ao número de radianos percorridos por unidade de tempo. ω= ( distância o , rad tempo (s) ) Para um ângulo α qualquer percorrido em um dado tempo t: ω= α t O ângulo α é chamado de posição angular: α = ω⋅ t Ao final do ciclo, o ângulo α percorrido será sido 2π rad (360o), em um tempo total chamado de período. Assim: ω= ω 2⋅π = 2⋅π⋅f T +Amax • • 90o α1 α(o, rad) 0o 0π α1 90o 180o 1π 360o 2π • -Amax • Figura 3. – a projeção de um vetor girando descreve uma senóide. A figura 3. mostra a forma de onda geral para uma função senoidal. Da matemática sabemos que: f(α) = Amax. sen(α) f(α) = Amax. sen(ω. Em um período ou ciclo completo (360o), α=2πrad. Podemos relacionar: ⎯ 2π α 1T ⎯ t desenvolvendo: α= 2⋅π⋅t = 2⋅ π ⋅ f ⋅ t = ω⋅ t T então, a posição angular α pode ser dada por: α = ω⋅ t A posição angular (ω.

t) é dada pelo produto da freqüência angular (ω) pelo instante de tempo (t), e nos fornece o ângulo no qual a espira se encontra: Podemos verificar que o produto da freqüência angular ω (rad/s) pelo instante de tempo(s) é mesmo um ângulo pela relação das unidades: rad ⋅ s = rad s Como a tensão é senoidal e é função do tempo, podemos expressar a tensão a cada instante através da função matemática de tensão instantânea. Tensão Instantânea: Para uma senóide o valor da tensão é expresso em função do ângulo α, dado pela posição angular da espira no campo magnético: v(α ) = Vp ⋅ sen( α ) Prof. Fernando L. Para t=78,5ms: v(0,0785)=10sen(10. Fazendo o mesmo procedimento para outros intervalos de tempo obtemos a tabela 3.

que dará origem à forma de onda da figura 3. Prof. Fernando L. i(mA) t(μs) 0 25 50 -20 Figura 3. – forma de onda para o exemplo 3. Solução: analisando a forma de onda da figura 3. obtemos: T = 50μs f = 1/T = 20kHz ω = 2πf = 125663,7rad/s 28 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Ip = 20mA então a função matemática que descreve a corrente instantânea é: i(t) = 20. sen(125663,7. Determinar o valor médio para a forma de onda da figura 3. Vmédio = Prof. Fernando L. R. Mussoi (4 × 2) + (− 2 × 2) + (3 × 2) + (1× 2) = 8 − 4 + 6 + 2 = 12 = 1,5 8 8 8 CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 29 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 4 3 4 2 0 Vmédio=1,5 6 1 t 8 -2 Figura 3. t ) ⋅ dωt = 0 ⋅ [− cos(2π) + cos(0)] = Vp 2π Vp 2π 2π ∫ ⋅ sen( ωt ) ⋅ dωt = 0 ⋅ [− 1 + 1] = 0 Vmed = 0 Como a senóide é simétrica ao eixo das abscissas, para todos os valores do semiciclo positivo, temos correspondentes valores no semiciclo negativo, o que faz com que o seu valor médio seja nulo, ou seja, as áreas positivas são iguais às negativas.

Pelo procedimento de cálculo podemos determinar o valor médio de apenas um semiciclo (meio período): Vmed, π T π Vp 2 ⋅ Vp 1 1 = ⋅ v( t ). dt = ⋅ Vp ⋅ sen( ω. t ) ⋅ dωt = ⋅[− cos( ωt )]0π = T π π π ∫ 0 ∫ 0 Vmed, π = Prof. Fernando L. R. Mussoi ∫ Vp 2 ⋅ sen 2 (ω. t ) ⋅ dωt = 2 Vp ⎡ ωt cos 2ωt ⎤ 2π − = 2π ⎢⎣ 2 4 ⎥⎦ 0 = 2π Vp 2 Vp 2 2 = Vp 2 = 0,707 ⋅ Vp CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 31 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS O valor eficaz corresponde à altura de um retângulo de base igual a um semiciclo e área equivalente a esse semiciclo, como mostra a figura 3. Portanto, o valor eficaz corresponde a um valor contínuo de 70,7% do valor de pico de uma senóide; +Vp Valor Eficaz 0,707Vp α(o, rad) 0o 0π 180o 1π 360o 2π -Vp Figura 3. – valor eficaz de uma senóide. O valor da tensão eficaz ou da corrente eficaz é o valor que produz numa resistência o mesmo efeito que uma tensão/corrente contínua constante desse mesmo valor.

Para a rede elétrica comercial sabemos que o valor da tensão eficaz é 220V/60Hz, o que corresponde a um valor de pico de: Vp = 2 ⋅ Vef = 0,707 ⋅ 220 = 311,1V Na prática, o que se tem na rede elétrica CA é um sinal senoidal de 60 ciclos por segundo (60Hz), cuja tensão varia a todo instante desde +311,1V a –311,1V, passando por zero a cada meio ciclo. A tensão eficaz de 220V é o valor correspondente a uma tensão contínua constante que produziria o mesmo efeito da rede CA numa dada resistência, como um chuveiro elétrico, por exemplo. Um sinal senoidal de tensão/corrente alternada está sempre variando e, portanto, o valor eficaz é apenas uma referência matemática. Vp v(t) TENSÃO EFICAZ Tensão Contínua que fornece a mesma potência ao resistor 70,7%Vp 0π 1π 2π t ωt -Vp Figura 3.

B deslocamento (m) w A w C B Dmáx θB A θC t0 0 αA t1 t2 αC 90 o o 180 αB t3 270o t4 t5 360 Instante t(s) t6 o Posição Angular α(o) w C Figura 3. – Descrição do deslocamento de três corredores numa pista circular Sabemos que, todo movimento circular (harmônico) pode ser descrito (projetado) através de uma senóide. O gráfico da figura 3. descreve o deslocamento vertical dos corredores "A", "B" e “C” em função do tempo "t" (ou do ângulo percorrido) no mesmo eixo. Como um movimento circular pode ser descrito por uma senóide, a função que descreve o deslocamento do corredor "A" no tempo pode ser dada por: CA(t)= Dmax. sen (ωt - 90o) Dizemos que a função CC(t) está defasada de -90o da função CA(t) ou que a função Cc(t) está atrasada em 90o em relação a CA(t).

A Defasagem Angular φ é, portanto, a medida em radianos ou graus, que indica quanto uma função senoidal está deslocada no tempo (defasada) uma em relação a outra tomada como referência, e é dada pela diferença entre os ângulos de fase inicial θ de cada função: φ x,ref = θ x − θref A equação acima demonstra a defasagem de uma forma de onda X com relação a uma outra forma de onda, tomada como referência. • Se φ for positivo: x está adiantada da referência • Se φ for negativo: x está atrasada da referência Em análise de circuitos de corrente alternada, também teremos defasagens entre as tensões e correntes. Por exemplo, consideremos que as espiras dos dois geradores de corrente alternada da figura 3. a) comecem a girar ao mesmo tempo com a mesma freqüência, porém com ângulos de fase iniciais diferentes.

θ=-α As figuras 3. e 3. ilustram essa conclusão. α Figura 3. Semiciclo positivo começa em +α=-θ: v(t) = Vp. t). As formas de onda podem estar: • Em fase: quando as formas de onda cortam o eixo x no mesmo ponto; • Defasadas: quando as formas de onda cortam o eixo x em pontos diferentes. E ainda: • Adiantada: semiciclo positivo começa à esquerda da origem; • Atrasada: semiciclo positivo começa à direita da origem; Prof. Fernando L. R. Determine a defasagem entre os sinais: v1(t)= 100. sen(100t) ⇒ tensão tomada como referência (sem fase inicial) v2(t)= 40. sen (100t – 60o) ⇒ tensão v2 atrasada 60o em relação a tensão v1: φ = θ2- θ1 = -60 – 0 = -60o i3(t) = 2. sen (ωt + 45o) ⇒ corrente i3 adiantada 45o em relação a v1: φ = θ3- θ1 = 45 – 0 = +45o Questão: A corrente i3(t) está atrasada ou adiantada em relação à tensão v2(t)? 3.

OSCILOSCÓPIO O osciloscópio é um instrumento que mostra formas de onda de tensão. Mussoi ⇒ Vp = 10V CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 37 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Valor Eficaz: Vef = Vp 2 = 10 2 = 7,07 V Figura 3. –Osciloscópio. Figura 3. – tela padrão de um osciloscópio. Na tela do osciloscópio, como mostra a figura 3. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 38 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 3. Qual o fator de forma de uma onda de tensão alternada triangular com amplitude ±10V e freqüência de 1kHz? 3. Uma corrente alternada de valor eficaz 10A / 60Hz inicia seu semiciclo no instante t=0s. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 39 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS i1(t) v (V) i (A) v2(t) 9 6 3 0 -3 2 4 6 8 10 t (s) -6 -9 v1(t) -12 (a) v(V), i(A) 6 i2 (t) i1 (t) 4 v 1 (t) 2 t (s) 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 -2 -4 -6 (b) Figura 3.

– exercício 3. Dadas as funções abaixo, determine os parâmetros e esboce, num mesmo eixo, as curvas de v ou i em função do tempo. a) v1(t) = 5,0 sen (377t + 30o); i2(t) = 3,0 sen (377t - 180o) e v3(t) = 4,5 sen (377t) b) v1(t) = 100,0 sen (1000t); v2(t) = 60,0 sen (1000t + 90o) e i1(t) = 30,0 sen (1000t -45o) 3. Dados os gráficos da figura 3. NÚMEROS COMPLEXOS Para a análise de circuitos com sinais senoidais de corrente alternada, assim como na análise de circuitos de corrente contínua, tensões e correntes devem ser operadas algebricamente. Esta tarefa se torna pouco prática e trabalhosa quando operamos algebricamente equações sinusoidais na forma trigonométrica. O uso do sistema de números complexos permite relacionar sinais senoidais e se constitui numa técnica prática, fácil e precisa de se operar algebricamente sinais senoidais.

O uso destas técnicas permite a análise de circuitos CA senoidais através da aplicação dos mesmos teoremas e procedimentos usados na análise de circuitos CC. PLANO CARTESIANO COMPLEXO A figura 4. Para resolver as equações semelhantes às apresentadas nos dois exemplos anteriores foi criado um número imaginário cujo quadrado é igual a -1. O símbolo2 “j” é usado para denotar um número imaginário. Assim: j 2 = −1 ⇒ j = −1 Assim, para a equação do primeiro exemplo: x = ± −1 x = ±j Há, portanto duas soluções para a equação: x1=+j e x2=-j. Para o segundo exemplo, onde: y = 5 ± − 15 y = 5 ± − 1 ⋅ 15 y = 5 ± j ⋅ 15 Com a criação do número imaginário pode-se determinar um novo conjunto denominado Conjunto dos Números Complexos, como mostra a figura 4.

N Z Q R C Figura 4. A cada número complexo corresponde um e somente um ponto no plano cartesiano complexo e, reciprocamente, a cada ponto no plano cartesiano complexo corresponde um e somente um número complexo. Números reais à esquerda da origem são negativos e à direita são positivos. Números imaginários acima da origem são positivos e abaixo são negativos. Há duas formas para representar um número complexo: a forma retangular e a forma polar. Ambas formas representam um ponto C no plano complexo, representado pelos seus componentes cartesianos (projeções ortogonais x e y) ou pela magnitude Z do vetor radial traçado desde a origem até o ponto e o seu ângulo θ, medido desde o eixo real. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 44 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS C = x + jy onde: C – número complexo na forma retangular; x – projeção no eixo x (abscissa) referente à parte real; y – projeção no eixo y (ordenada) referente à parte imaginária.

Exemplo 4. representar os números complexos no plano cartesiano: a) C = 5 + j3 ver figura 4. y, Im +3 C = 5 +j3 x, Re +5 Figura 4. – solução do exemplo 4. Um número complexo na Forma Polar é um número composto por um vetor e um ângulo. A forma polar para representação de um número complexo, como mostra a figura 4. é feita através do vetor radial traçado desde a origem até o ponto, onde a sua magnitude (comprimento) chama-se módulo e o ângulo descrito desde o eixo horizontal (x) chama-se argumento. Assim: C = z∠θ onde: C - número complexo na forma polar; z – módulo (comprimento) do vetor radial desde a origem até o ponto (z>0); θ - argumento (ângulo) do vetor desde o eixo horizontal, medido no sentido anti-horário. Observação: O símbolo “∠” é usado para indicar o argumento de um número complexo na forma polar e lê-se:”com ângulo de” ou “com argumento de”.

b) c) C = -5∠ 30o = 5∠ 210o Prof. Fernando L. R. Mussoi ver figura 4. CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 46 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS y, Im o θ = +210 x, Re z=5 o C = 5∠210 Figura 4. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 47 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS z = 60 2 + 80 2 = 100 ⎛ 80 ⎞ θ = tg −1⎜ ⎟ = 53,13 o ⎝ 60 ⎠ C = 100∠53,13 o b) C = 5 – j5 z = 5 2 + ( −5) 2 = 50 = 5 2 ⎛−5⎞ o θ = tg −1 ⎜ ⎟ = −45 ⎝ 5 ⎠ C = 5 2∠ − 45 o c) C = -5 + j7 z= (− 5)2 + 7 2 = 8,6 ⎛ 7 ⎞ o θ = tg −1⎜ ⎟ = −54,46 ⎝−5⎠ C = 8,6∠125,54o Observação: Se o número complexo deve aparecer no segundo, terceiro ou quarto quadrantes, devemos convertê-lo para estes quadrantes e determinar o ângulo apropriado a ser associado com o seu módulo. No exemplo 4. c) o número –5+j7 aparece no 2o quadrante e portanto o ângulo de – 54,46o deve ser associado a este quadrante ou seja 180o+(-54,46o) = 125,54o.

Conversão de Polar para Retangular Para transformarmos um número complexo da forma polar para a forma retangular, desejamos obter o cateto adjacente x e o cateto oposto y a partir da hipotenusa z e do ângulo θ do triângulo retângulo xyz indicado na figura 4. Através das relações trigonométricas, temos: cos θ = x z assim, o cateto adjacente que representa o número real x, pode ser dado por; x = z ⋅ cos θ e sen θ = y z assim, o cateto oposto que representa o número imaginário y, pode ser dado por; y = z ⋅ sen θ concluímos que um número complexo na forma retangular é: C = x + jy = z ⋅ cos θ + j(z ⋅ sen θ ) Prof. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 49 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Exemplo 4.

determine o conjugado dos números complexos: a) C = 5 + j7 ⇒ C* = 5 – j7 b) C = 100∠-30o ⇒ C* =100∠+30o 4. Recíproco ou Inverso de um número complexo O recíproco ou o inverso de um número complexo, representado por C-1 é dado por: C −1 = 1 1 1∠0 o = = C x + jy z∠θ Essa divisão de números complexos será estudada no item 4. Adição e Subtração de números complexos A adição (soma) ou subtração algébricas de números complexos deve ser feita sempre na forma retangular. Não se somam ou se subtraem números complexos na forma polar. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 50 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS C1 ⋅ C 2 = (z1∠θ1 ) ⋅ (z 2 ∠θ 2 ) Na forma trigonométrica: C1 ⋅ C 2 = z1 ⋅ (cos θ1 + jsenθ1 ) ⋅ z 2 (cos θ 2 + jsenθ 2 ) = z1 ⋅ z 2 (cos θ1 + jsenθ1 ) ⋅ (cos θ 2 + jsenθ 2 ) = ( ) = z1 ⋅ z 2 cos θ1 ⋅ cos θ 2 + j cos θ1 ⋅ senθ 2 + jsenθ1 ⋅ cos θ 2 + j 2 senθ1 ⋅ senθ 2 = = z1 ⋅ z 2 [(cos θ1 ⋅ cos θ 2 − senθ1 ⋅ senθ 2 ) + j(cos θ1 ⋅ senθ 2 + senθ1 ⋅ cos θ 2 )] = Das identidades trigonométricas conhecidas, temos: cos θ1 ⋅ cos θ 2 − senθ1 ⋅ senθ 2 = cos(θ1 + θ 2 ) cos θ1 ⋅ senθ 2 + senθ1 ⋅ cos θ 2 = sen(θ1 + θ 2 ) Substituindo: C1 ⋅ C 2 = z1 ⋅ z 2 [cos(θ1 + θ 2 ) + jsen(θ1 + θ 2 )] C1 ⋅ C 2 = z1 ⋅ z 2 ∠(θ1 + θ 2 ) Portanto, a regra para multiplicação de números complexos na forma polar é: Multiplicam-se os módulos e somam-se algebricamente os ângulos.

Assim: C1 ⋅ C 2 = z1∠θ1 ⋅ z 2 ∠θ 2 = z1 ⋅ z 2 ∠(θ1 + θ 2 ) Exemplo 4. efetuar as operações algébricas com números complexos, sendo C1 = 10∠45o e C2 = 20∠30o. Assim: C1 z ∠θ z = 1 1 = 1 ∠(θ1 − θ 2 ) C 2 z 2 ∠θ 2 z 2 Exemplo 4. efetuar as operações algébricas com números complexos, sendo C1 = 10∠45o e C2 = 20∠30o. a) C3 = C1 / C2: C3 = C1 / C2 = 10∠45o / 20∠30o = 10/20 ∠(45o-30o) = 0,5 ∠15o * b) C3 = C1 / C2 : C3 = C2 / C1 = 20∠30o / 10∠-45o = 20/10 ∠(30o-(-45o)) = 2 ∠75o * 4. Potenciação de números complexos Consideremos o complexo C = z∠θ. Dado o número natural não nulo “n”, temos: C n = C ⋅ C ⋅. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 52 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS c) C3=4∠45o d) C4=3∠-60o e) C5=6∠-150o f) C6=2,5∠90o 4. Determine o argumento e o módulo dos números complexos a seguir e os represente geometricamente no plano cartesiano: a) C=j4 b) C = −2 + j2 3 4.

Faça as operações algébricas com os números complexos: a) (6+j5)+(2-j)= b) (6-j)+(4+j2)= c) (2,5+j3,5)-(2,5-j4,5) d) (4-j). j3)= e) (1+j). j). C3*)-C2= d) C2/C4= e) C1-C4*= f) (3C1. C2). C3. C4)/(2C2-C3)= 4. Prove matematicamente (literal - sem números) que o produto de um número complexo na forma polar pelo seu conjugado é um número real igual ao módulo ao quadrado. Este método faz uso de um vetor radial girante denominado Fasor. INTRODUÇÃO Já sabemos que podemos representar sinais de tensão e de corrente alternadas senoidais através das seguintes expressões matemáticas no chamado domínio do tempo ou domínio temporal, pois são função do tempo: • Tensão instantânea: v(t) = Vp.

sen (w. t ± θV) • Corrente instantânea: i(t) = Ip. sen (w. Outra solução seria operarmos os sinais buscando alguma identidade trigonométrica. De ambas as formas, concluímos que esta tarefa não é simples, nem rápida e nem evidente. Prof. Fernando L. R. t + 45o) • v3(t) = 20. sen(200. t + 90o) Todas as três fontes apresentam a mesma freqüência angular ω = 200 rad/s. Desta forma, ω não diferencia as tensões e pode ser omitida na representação de v1, v2 e v3. A diferenciação entre estas tensões deverá ser feita, então, em função da tensão de pico Vp (ou da tensão eficaz Vef) e do ângulo de fase inicial θ de cada fonte. o +VP 60o C 90o 150o v(ωt) ω 90o C 30o α 180 o 210o 240o270o300o 330o 360o VP 0 210o o 0 o 30 o o o o o 60 90 120 150 180 o α=ωt (o, rad) 330o 240o 270 o 300o -VP Figura 5.

Projeções de valores instantâneos de um sinal senoidal [3] Cada ponto de uma senóide pode ser representado por um vetor de módulo constante numa posição diferente, como indicado na figura 5. A medida que a senóide é descrita o vetor assume posições diferentes. Quando a senóide completa um ciclo, o vetor descreveu um giro completo e se encontra na mesma posição inicial novamente. Este vetor é, portanto, um vetor girante. Podemos observar que este ângulo corresponde ao ângulo de fase inicial θ da senóide. A cada período ou ciclo completado o vetor radial girante está sempre na mesma posição angular inicial θ. Se o ciclo da senóide iniciar adiantado, o ângulo de fase inicial θ0 é positivo. Se o ciclo da senóide iniciar atrasado, o ângulo de fase inicial θ0 é negativo, conforme ilustra a figura 5.

‘ ω v(ωt) VP VP V0 V0 θ ωt θ -α (a) ‘ ω v(ωt) VP -θ V0 ωt α θ VP V0 (b) Figura 5. A amplitude máxima (valor de pico) corresponderá ao módulo do fasor. Assim, a projeção y pode ser dada pela função senoidal: y = v(t) = Vp. sen w. t y = v(α) = Vp. sen α ou e os valores instantâneos (amplitudes) podem ser calculados da seguinte forma: α = 0o ⇒ v(α) = Vp. Vp α = 180o ⇒ v(α) = Vp. sen 180o = 0 α = 210o ⇒ v(α) = Vp. sen 210o = -0,5. Vp α = 240o ⇒ v(α) = Vp. sen 240o = -0,866. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 59 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Os fasores são representados graficamente através de diagramas fasoriais, como mostra a figura 5. Se o diagrama fasorial representar apenas a posição do fasor no instante inicial, o seu módulo corresponde ao segmento OC na figura 5.

e representa o valor de pico da senóide. y – eixo imaginário fasor I 5 ω 45o 0 10 x – eixo real fasor V Figura 5. diagrama fasorial para os exemplos 5. e 5. Observação: Um diagrama fasorial pode conter um ou vários Fasores (vários sinais senoidais) desde que sejam todos de mesma freqüência. Exemplo 5. Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 60 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS O valor de pico positivo (10V) ocorrerá em 90o+α=120o e assim por diante, como mostra o gráfico da figura 5. b). Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 61 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS x – número real y – número imaginário j – operador imaginário ( j = −1) z – módulo θ - ângulo ou argumento.

Um fasor é um vetor radial traçado desde a origem cujo módulo (comprimento) é constante e corresponde ao valor de pico do sinal senoidal e cujo ângulo formado com o eixo das abscissas corresponde à fase inicial θ do sinal senoidal no instante inicial t = 0. Se este fasor, que é um vetor radial, for traçado num plano cartesiano complexo, como mostrado na figura 5. podemos perceber que ele forma um triângulo retângulo com o eixo real x e podemos representá-lo matematicamente através de números complexos, tanto na forma polar como na forma retangular. y – eixo imaginário ω y z hipotenusa cateto oposto θ 0 x – eixo real x cateto adjacente Figura 5. Na figura 5. considerando-se o eixo x como eixo real e o eixo y como eixo imaginário, representar os fasores através de números complexos, na forma polar e na forma retangular.

Solução: para o fasor V o seu módulo é 10 e o seu ângulo é 0o, então na forma polar: 10 V& = ∠0 o = 7,07∠0 o V 2 e para o fasor I o seu módulo é 5 e o seu ângulo é +45o, então na forma polar: &I = 5 ∠ + 45 o = 3,54∠ + 45 o 2 A para obtermos a forma retangular devemos obter as projeções dos fasores nos eixos x e y. Assim para o fasor V: x= 10 2 ⋅ cos 0 o = y= 10 2 10 2 = 7,07 ⋅ sen0 o = 0 então: V& = 7,07 + j0 V e para o fasor I: Prof. Fernando L. Fasores podem ser operados através da álgebra dos números complexos. Formas de Onda Domínio do Tempo Domínio Fasorial Domínio Fasorial Domínio do Tempo Função Instantânea FASOR FASOR Função Instantânea v(t) = VP. sen(ωt ± θ) i(t) = IP.

sen(ωt ± θ) V& = Vef ∠ ± θ v &I = I ∠ ± θ ef i Operação Algébrica de Números Complexos V& = Vef ∠ ± θ v &I = I ∠ ± θ ef i v(t) = VP. sen(ωt ± θ) i(t) = IP. cosθ V& = Vef ∠θ y = Vef. senθ V& ef = x 2 + y 2 θ = arctg y x FORMA POLAR V& = x + jy FORMA RETANGULAR Figura 5. – transformação de polar em retangular e vice versa. O diagrama fasorial permite somente operações gráficas de adição e subtração. Elas podem ser realizadas pelo mesmo processo usado para soma e subtração de vetores através do Método do Paralelogramo. Podemos perceber como a álgebra fasorial facilita as operações com os sinais senoidais que, na forma trigonométrica, apresentam maior complexidade. tensão (V) 40 20 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -20 -40 -60 -80 graus v1 v2 v1+v2 v1-v2 Figura 5.

– gráfico para o exemplo 5. Exemplo 5. Some os fasores do exemplo 5. O osciloscópio é o instrumento utilizado para visualizarmos a forma de onda de um sinal elétrico de tensão. O diagrama fasorial é uma forma gráfica simplificada de representarmos o sinal senoidal, permitindo fazermos operações gráficas de soma e subtração entre vários sinais de tensão ou entre sinais de corrente. A expressão matemática na forma trigonométrica representa a função de forma completa, mostrando todos os detalhes do sinal e permite a determinação dos seus valores instantâneos. A representação de sinais senoidais através dos fasores utiliza os números complexos e é a forma mais simplificada da função, contendo apenas a amplitude e o ângulo de fase inicial do sinal.

Essa representação permite facilmente operações de soma, subtração, multiplicação e divisão entre vários sinais elétricos. III) v1(t)=5,0sen(400t)V; v2(t)=2,0sen(400t-90o)V; i1(t)=2,5sen(400t-30o)A; v (t)=3,5sen(400t+180o) 3 IV) Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 68 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS v ,i ( V ,A ) 6 v 1 ( t) 4 v 2 ( t) 2 t (s) 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 -2 -4 i 1 ( t) -6 V) v ,i ( V ,A ) 15 i 1 ( t) 10 v 2 ( t) i 2 ( t) 5 t ( s) 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 -5 -1 0 -1 5 VI) 10 i,v ( A ,V ) i 2 ( t) v 1 (t) 8 6 4 2 w t ( r a d /s ) 0 -2 π /4 π /2 3 π /4 π 3 π /2 2 π -4 -6 i 1 ( t) -8 -1 0 5. Considere os fasores de mesma freqüência V& 1 = 100∠0 o , V& 2 = 50∠ − 30 o e &I1 = 10∠ − 45 o.

Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 70 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 6. RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS NOS ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOS Sabemos, do estudo da física, que uma relação entre causa e efeito não ocorre sem um oposição, ou seja, a relação entre causa e efeito é uma oposição: Oposição = Causa Efeito Nos circuitos elétricos a causa pode ser entendida como a tensão e o efeito o estabelecimento de uma corrente elétrica. A resistência elétrica é, portanto, uma oposição. Neste capítulo serão estudadas as relações existentes entre as tensões e as correntes alternadas senoidais nos Resistores, nos Capacitores e nos Indutores e sua forma de representação matemática, além de como a freqüência dos sinais senoidais afeta as características de comportamento desses elementos.

Esse comportamento é determinado pela característica de oposição desses componentes quando submetidos a sinais de tensão e corrente senoidais. – tensão e corrente em um resistor. Assim: R= Prof. Fernando L. R. Mussoi V I CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 71 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS onde: R - resistência do resistor (Ω); V - tensão nos terminais do resistor (V); I - corrente que atravessa o resistor (A); Seja o circuito da figura 6. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 72 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS v(ωt) i(ωt) +VP +IP +VP +IP 3π/4 2π o o o 210 240 270 300 330 360o o 0o o 30o 60o 90o 120o 150o 180o π π/2 -IP α=ωt ( , rad) o -IP -VP -VP Figura 6. – Corrente em fase com a tensão em um circuito resistivo.

Se traçarmos as funções tensão vR(t) e corrente iR(t) no resistor, como mostra o gráfico da figura 6. podemos concluir que um resistor, quando submetido a uma tensão alternada, produz uma corrente elétrica com a mesma forma de onda, mesma freqüência e mesma fase da tensão, porém, com amplitude que depende dos valores da tensão aplicada e da resistência, conforme a Lei de Ohm. Podemos perceber que a tensão e a corrente estão em fase, como era esperado. A figura 6. apresenta o diagrama fasorial para a tensão e corrente no resistor. Mais uma vez percebemos que a tensão e a corrente estão em fase num circuito resistivo. Prof. Geralmente os níveis de capacitância e indutância são tão pequenos que seu efeito real não é significante até a faixa operacional de megahertz (MHz).

Nesta faixa, a curva de resistência versus freqüência para alguns resistores de filme de carbono é apresentada na figura 6. Podemos notar que os valores de resistência diminuem com o aumento da freqüência e este comportamento é mais sensível para resistores de maior valor de resistência nominal. Este comportamento se deve às componentes de capacitância e indutância intrínsecas ao resistor real e que são sensíveis à freqüência, como será estudado nos itens posteriores. Neste trabalho continuaremos considerando a resistência uma constante e também independente da freqüência do sinal aplicado para simplificação das análises. a tensão e a corrente em cada resistor (forma trigonométrica e fasorial) d. formas de onda da tensão e corrente da fonte e em cada resistor em função do tempo num mesmo gráfico e.

diagrama fasorial completo. Dados: v1(t) = 220. sen(377. Este Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 76 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS acúmulo de cargas corresponde à uma energia armazenada na forma de campo elétrico existente entre as placas do capacitor. Estas cargas armazenadas produzem um campo elétrico de tal forma que se estabelece uma diferença de potencial ddp (tensão) entre as placas do capacitor. L. R. Capacitores. Florianópolis: CEFET/SC, 2003. Disponível em: www. – capacitor alimentado por uma tensão alternada senoidal Na figura 6. observando a curva da tensão alternada senoidal aplicada sobre o capacitor vemos que os momentos de maior variação da tensão (ΔVc→máx. ocorrem quando seu valor está próximo de zero e, portanto, nestes instantes teremos os maiores valores de corrente no ramo do capacitor.

Por outro lado, nos instantes em que a tensão está próxima de seu valor máximo a sua variação é muito pequena (ΔVc ≈ 0) o que implica em valor de corrente baixo (IC→0). Prof. sen (ω. t + 0o) ou V& c = Vef ∠0 o ic(t) = Ip. sen (ω. t + 90o) ou &I = I ∠90 o c ef Seja o circuito da figura 6. vamos determinar a corrente no circuito para uma dada tensão no elemento capacitivo. Pela figura 6. podemos verificar que um aumento na corrente do circuito (efeito) corresponde a uma diminuição na oposição e iC é proporcional à freqüência angular ω e à capacitância C, a oposição de um capacitor é, portanto, inversamente proporcional à freqüência angular ω (2πf) e à capacitância C. Como: iC = C ⋅ dv dt Considerando θV=0o, a tensão senoidal aplicada aos terminais do capacitor é: v C ( t ) = VP ⋅ sen(ωt ) diferenciando a equação: dv C d( Vp ⋅ sen ωt ) = = ω ⋅ Vp ⋅ cos ωt dt dt portanto: iC = C ⋅ dv C = C ⋅ ω ⋅ Vp ⋅ cos ωt dt iC = ω ⋅ C ⋅ Vp ⋅ cos ωt fazendo Ip = ω ⋅ C ⋅ Vp e como cos(ωt ) = sen( ωt + 90 o ) , temos: iC ( t ) = Ip ⋅ sen( ωt + 90 o ) Podemos notar que o valor de pico da corrente iC é diretamente proporcional à ω e à C, como previsto.

Traçando o gráfico para vC e iC, verificamos que num capacitor a corrente está adiantada de 90o da tensão, como mostra a figura 6. Se um ângulo de fase for incluído na expressão senoidal para vC, temos: v C ( t ) = Vp ⋅ sen( ωt ± θ v ) então: Prof. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 81 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS O valor, em módulo, da Reatância Capacitiva é inversamente proporcional à capacitância C e à freqüência f da tensão aplicada (ou de sua freqüência angular ω). Pode-se observar que a reatância do capacitor depende da capacitância “C” e da freqüência f do sinal aplicado. Sendo Xc inversamente proporcional à freqüência, quanto maior a freqüência, menor a Reatância Capacitiva e menor oposição à corrente.

Para altas freqüências, um capacitor é quase um curto circuito pois a oposição é mínima e, para baixas freqüências, ou CC, um capacitor é quase um circuito aberto, pois a oposição máxima. Assim, no domínio fasorial, temos: XC = V& C &I C onde: XC – reatância capacitiva (Ω); V& C - fasor tensão no capacitor (V); &I - fasor corrente no capacitor (A). C Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 82 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Já vimos que: v C ( t ) = Vp ⋅ sen( ωt ± θ v ) e V& C = VCef ∠θ V assim i C ( t ) = Ip ⋅ sen(ωt + θ v + 90 o ) Na forma fasorial: &I = I ∠θ = I ∠( θ + 90o ) C Cef I Cef V Considerando-se as variáveis em questão na forma de fasores (números complexos) e sabendo-se que a corrente no capacitor está adiantada de 90o da tensão, tem-se: XC = [ )] ( V& C VCef ∠θ V VCef = = ∠ θ V − θ V + 90 o = X c ∠ − 90 o = − j ⋅ X C o &I I ICef ∠ θ V + 90 Cef C ( ) Podemos observar que a reatância capacitiva é, na verdade, expressa por um número imaginário negativo.

Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 83 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Observação: devemos lembrar que um número imaginário é representado no eixo y, a 90o dos números reais, representados no eixo x. O operador j representa o deslocamento de 90o no plano complexo. j → 90 o 1 = −j j − j → −90 o 1 =j −j Exemplo 6. Tomando os fasores de tensão e corrente, podemos traçar o diagrama fasorial da figura 6. I = 2,8∠ + 90 o C +90o V& C = 12∠0 o Figura 6. – Diagrama fasorial para o exemplo 6. corrente adiantada de 90o da tensão no capacitor. Resposta em freqüência para o Capacitor Para o capacitor, o módulo da reatância capacitiva é dado pela equação: XC = 1 2⋅π⋅f ⋅C que pode ser escrita da seguinte forma XC 1 (2 ⋅ π ⋅ C) = f esta equação é uma função inversa e está associada com a forma de uma hipérbole: y = f (x) = Prof.

A composição dos efeitos da capacitância, da indutância e da resistência é dada pela impedância6 equivalente do capacitor ZC que é função da freqüência. Para freqüências muito altas o efeito da indutância e da resistência se torna mais pronunciado reduzindo o efeito final da capacitância. Isto define o tipo de capacitor a ser usado em função da freqüência do circuito. Por exemplo, capacitores eletrolíticos são geralmente usados em freqüências até 10kHz e os cerâmicos até 10MHz. Neste trabalho continuaremos considerando o capacitor ideal. Um capacitor está conectado à rede de 60Hz e apresenta uma reatância capacitiva de 200Ω. Qual a sua capacitância? 6. Em que freqüências um capacitor de 33μF possuirá reatâncias de 20Ω e de 10kΩ? 6.

Dados os circuitos da figura 6. determine: a) a reatância capacitiva de cada capacitor e a total do circuito; b) a corrente fornecida pela fonte na forma trigonométrica e fasorial; c) a tensão e a corrente em cada capacitor (forma fasorial e forma trigonométrica); d) formas de onda da tensão e da corrente da fonte e em cada capacitor em função do tempo, num mesmo gráfico; e) diagrama fasorial completo. Isto é, quando a corrente que passa no indutor está variando, o fluxo magnético, provocado pela corrente, também varia e induz uma força eletromotriz (tensão) nos terminais do indutor. A tensão induzida é expressa pela Lei de Faraday e, segundo a Lei de Lenz, se oporá à causa que a originou, portanto se oporá à variação da corrente.

v L = −N ⋅ dφ dt onde: vL – tensão induzida nos terminais do indutor (V); N – número de espiras da bobina indutora; dφ/dt – taxa de variação do fluxo magnético no tempo (Wb/s); A indutância L de um indutor é a medida da capacidade do indutor de armazenar energia no campo magnético através de uma auto-indução de tensão. L = N⋅ dφ dI Assim, Prof. Fernando L. Disponível em www. cefetsc. edu. br/mussoi Prof. Fernando L. Com base nesse raciocínio, se aplicarmos uma tensão senoidal a um indutor verificaremos que, quando a tensão estiver próxima a zero, a corrente será máxima e quando a tensão for máxima a corrente será nula. A partir dessas observações podemos concluir que a tensão resultante no Prof.

Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 89 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS indutor também é senoidal e apresenta uma defasagem de 90o com relação à corrente, como indica a figura 6. Para circuitos indutivos, a corrente nos terminais do indutor é limitada pela taxa na qual o fluxo magnético varia. Em outras palavras, uma variação instantânea na corrente sobre o indutor é impedida pelo fato que há uma indução de tensão que se opõe à variação da corrente (Leis de Faraday e de Lenz). Como indutância é uma medida da taxa com que um indutor armazena energia no campo magnético, para uma dada variação na corrente sobre o indutor, quanto maior o valor da indutância, maior será a tensão induzida nos terminais do indutor.

A equação v L (t) = L ⋅ dI dt indica que para uma dada indutância, quanto maior a taxa de variação da corrente através do indutor, maior será a tensão induzida nos seus terminais. Um aumento na freqüência corresponde a um aumento na taxa de variação da corrente e a um aumento na tensão nos terminais do indutor. quando aplicada uma tensão a uma bobina, a corrente levará um certo tempo para atingir o seu valor de regime permanente. Assim, existe uma defasagem entre a tensão aplicada e a corrente que percorre o indutor. Um indutor oferece uma oposição à variação de corrente devido à auto-indução de tensão. A oposição estabelecida por um indutor em um circuito AC senoidal pode ser encontrada aplicando a equação: Efeito = Prof.

Fernando L. Ao contrário do resistor que dissipa energia na forma de calor, a reatância indutiva não dissipa energia (desde que os efeitos da resistência dos fios da bobina sejam ignorados). Conclusão: O indutor ideal comporta-se como um curto-circuito em corrente contínua e como uma reatância elétrica em corrente alternada - XL (se opõe à variação de corrente). Para freqüências muito altas, o indutor comporta-se praticamente como um circuito aberto. • Em corrente contínua constante a freqüência é nula (f = 0Hz) e a reatância indutiva também é nula (XL = 0Ω) e o indutor se comporta como um curto-circuito. • Em corrente alternada, quando a freqüência tende a um valor muito alto (f→∞), a reatância indutiva também aumenta muito (XL →∞Ω) e o indutor se comporta como um circuito aberto.

Fernando L. R. Mussoi ou X L = (2 ⋅ π ⋅ f ) ⋅ L CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 93 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Portanto, a Reatância Indutiva de um indutor ideal é um número imaginário positivo pois tem fase sempre igual a +90o (forma polar) ou tem somente parte imaginária positiva (forma retangular). Para representar matematicamente esta defasagem incluímos o operador de número imaginário “+j” na relação entre a tensão e a corrente no indutor. Devido à oposição à variação da corrente, representada por XL, o indutor provoca uma defasagem de 90o entre a tensão VL e a corrente IL, como mostra o diagrama fasorial da figura 6. onde podemos observar que a corrente está atrasada de 90o da tensão nos terminais do indutor.

tensão (V), corrente (A) 12 8 4 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -4 -8 -12 -16 -20 tempo (ms) v(t) i(t) Figura 6. – Curvas de tensão e corrente no indutor para o exemplo 6. Tomando os fasores de tensão e corrente, podemos traçar o diagrama fasorial da figura 6. V& C = 12∠0 o -90o &I = 2,12∠ − 90 o L Figura 6. Modelo do Indutor Real O modelo de um indutor real está apresentado na figura 6. onde L é a indutância do indutor real, RS é a resistência série que representa as perdas nos condutores da bobina e no núcleo (correntes parasitas e Foucault). A capacitância CP é a capacitância parasita existente entre as espiras da bobina. A composição dos efeitos da indutância, da resistência e da capacitância é dada pela impedância8 equivalente do indutor real ZL, que é função da freqüência.

Para freqüências altas o efeito da capacitância e da resistência série será mais pronunciado, reduzindo o efeito da indutância e podendo até o indutor real ter um comportamento mais capacitivo que indutivo em freqüências muito altas. Em que freqüência está conectado um indutor de 100mH que tem reatância indutiva de 150Ω? 6. Dados os circuitos da figura 6. determine: a) a reatância indutiva de cada indutor e a total do circuito; b) a corrente fornecida pela fonte na forma trigonométrica e fasorial; c) a tensão e a corrente em cada indutor (forma fasorial e forma trigonométrica); d) formas de onda da tensão e da corrente da fonte e em cada indutor em função do tempo, num mesmo gráfico; e) diagrama fasorial completo.

Dados: v1(t) = 220. sen(377. Para um circuito de dois terminais A e B, representado por um bloco de carga alimentado por um fasor de tensão de entrada V& e um fasor de corrente de entrada &I , contendo qualquer elemento passivo (capacitor, indutor ou resistor) ou a combinação deles como mostra a figura 6. A relação entre a tensão e a corrente é dada pela Impedância (Z) do circuito. Impedância (Z) de um circuito é definida como a relação entre a tensão e a corrente que atravessa um bipolo de um circuito. Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 98 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Im ZR=R Re 6. – Impedância de um resistor ideal: número real no plano cartesiano.

• Para um circuito (ou bloco) indutivo puro: Se o bloco de carga do circuito da figura 6. for composto apenas por um ou uma combinação de indutores ideais (circuito indutivo puro) e sabendo que a corrente está atrasada de 90o da tensão num elemento indutivo puro, então: Vef ∠0 o V V& L ZL = = = ef ∠ + 90 o = X L ∠ + 90 o = + j ⋅ X L = + j ⋅ ω ⋅ L o &I Ief Ief ∠ − 90 L Num circuito ou bloco indutivo puro a impedância Z é igual à reatância indutiva XL: ZL = + j ⋅ XL = + j ⋅ ω ⋅ L É, portanto, um número imaginário positivo. – Impedância de um capacitor ideal: número imaginário negativo no plano cartesiano. • Para circuito (ou bloco) RLC misto: Se o bloco de carga do circuito da figura 6. for composto pela combinação de elementos passivos (circuito misto), a tensão e a corrente terão ângulos de fase diferentes e estarão defasados por um ângulo φ.

Sabendo que: φ = θ V − θI então: Z= V& Z Vef ∠θ v Vef = = ∠(θ v − θ i ) = Z ∠(θ v − θ i ) = Z ∠ ± φ = R ± j ⋅ X &I I ef ∠θ i I ef Z Como sabemos, um número é chamado complexo porque é composto por duas partes: uma parte real e uma parte imaginária. Portanto: A impedância de um elemento de carga misto é um número complexo. Como estudado na matemática, podemos representar um número complexo na forma polar e na forma retangular e ainda transformarmos de uma forma em outra. Assim, podemos representar a Impedância na forma polar ou na forma retangular e transformá-las uma em outra, como mostra a figura 6. R = Z cosφ X = Z senφ Z = R + jX Z = Z ∠φ Z = R2 + X 2 φ = arctg X R FORMA POLAR FORMA RETANGULAR Figura 6.

– transformação de impedâncias da forma polar para a forma retangular e vice-versa. Observação: A maioria das calculadoras científicas apresenta uma função que permite essas transformações facilmente. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 101 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 6. Diagrama de Impedâncias e Triângulo de Impedâncias Um diagrama de impedância é um auxiliar gráfico para se entender a impedância. Este diagrama é construído sobre um plano cartesiano de impedâncias (ou plano complexo) que, como ilustra a figura 6. a), tem um eixo horizontal (dos números reais) que representa as resistências, designado por R, e um eixo vertical (dos números imaginários) que representa as reatâncias, designado por jX. Prof. Fernando L.

R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 102 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Im +jXL R Re -jXC (a) Im Z=R+jXL=|Z|∠φ |Z| +jXL +φ Re R (b) Im R -φ Re -jXC |Z| Z=R-jXC=|Z|∠-φ (c) Figura 6. – Diagrama de Impedâncias e Triângulo de Impedâncias: (a) cargas puras R, L ou C não formam o triângulo de impedâncias; (b) cargas RL formam um triângulo de impedância positivo; (c) cargas RC formam um triângulo de impedância negativo. A defasagem pode ser obtida diretamente do ângulo da impedância, ou fazendo-se: φ = θ V − θ I = 15 o − ( −45 o ) = +60 o O triângulo de impedância fica como apresentado na figura 6. Im Z=2+j3,46=|4|∠60o |Z|=4 XL=+j3,46 o +φ=60 R=2 Re Figura 6.

– Triângulo de impedância para o exemplo 6. Para traçarmos as formas de onda, devemos atribuir valores para a variável tempo t, desde zero até o valor de um período T, às equações trigonométricas de tensão e corrente. Utilizando um software para traçar as formas de onda obtemos as curvas da figura 6. dada pela soma das impedâncias individuais da associação: Z eq = n ∑ Zi i =1 Z1 Z2 Z3. Zn Z eq= Z1 + Z 2 + Z 3 + L + Z n Figura 6. associação série de impedâncias. Prof. Fernando L. Determine a impedância equivalente para os circuitos, onde Z1=10+j30Ω; Z2=25j25Ω; Z3=50Ω e Z4=-j20Ω. Z1 Z2 Z4 Z3 a) Como a associação é série, simplesmente somamos as impedâncias: Z eq = Z 1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 = (10 + j30) + (25 − j25) + (50) + ( − j20) = 85 − j15 Ω Z1 Z2 Z3 b) A associação é em paralelo, então fazemos pelo inverso da soma dos inversos: Prof.

Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 106 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 1 1 1 1 1 1 1 1∠0 1∠0 1 = + + = + + = + + = Z eq Z 1 Z 2 Z 3 (10 + j30) ( 25 − j25) 50 31,6∠71,6 35,35∠ − 45 50 1 = (0,0316∠ − 71,6 ) + (0,02828 ∠45 ) + (0,02∠0 ) Z eq 1 = (0,01 − j0,03 ) + (0,02 + j0,02) + (0,02) = 0,05 − j0,01 Z eq Z eq = Z1 Z2 1 1∠0 = = 20∠ + 11,3 o Ω 0,05 − j0,01 0. Exercícios 6. Dados os pares de tensão e corrente numa carga, calcule a impedância, desenhe o triângulo de impedância e determine o teor da carga: a) v( t ) = 200 sen( ωt + 30 o ) V e i( t ) = 10 sen( ωt + 30 o ) A b) v( t ) = 50 sen(377 t + 20 o ) V e i( t ) = 5 sen(377 t − 70 o ) mA c) v( t ) = 300 sen(1000 t + 10 o ) V e i( t ) = 60 sen(1000 t + 100 o ) d) v( t ) = 220 2 sen(377 t + 60 o ) V e i( t ) = 22 2 cos(377 t ) 6. Dados os circuitos, determine a impedância equivalente, considerando uma freqüência de 1000Hz.

Dados: R1=50Ω; R2=100Ω; L1=50mH; L3=20mH; C1=20μF a) b) c) 6. ADMITÂNCIA Definimos Admitância Y como sendo o inverso da impedância Z. Associações de Admitâncias Como a admitância é a reciprocidade da impedância então podemos estabelecer que, para associações de admitâncias: • A admitância equivalente Yeq de uma associação de admitâncias em série: o inverso da admitância equivalente de uma associação série é dada pela soma dos inversos das admitâncias da associação, como mostra a figura 6. Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 110 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 1 = Yeq Y1 Y2 n 1 ∑ Yi i =1 Y3. Existe também um triângulo de admitância que é usado similarmente em relação ao triângulo da impedância.

A figura 6. mostra o diagrama e o triângulo de admitâncias. Importante: devemos notar que: • teor indutivo ⇒ φ negativo • teor capacitivo ⇒ φ positivo Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 112 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal; e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos; f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos. Figura 6. – Circuito RC série para o exemplo 6. No domínio fasorial, o resistor vale os mesmos 25Ω. A figura 6. apresenta o diagrama fasorial completo para o circuito. Pelo diagrama fasorial, podemos observar claramente que a tensão e a corrente no resistor estão em fase e que a corrente está adiantada de 90o da tensão no capacitor.

Já nos terminais da fonte, podemos verificar que a corrente está adiantada de 45o da tensão, caracterizando um circuito com teor capacitivo (RC). VR IF=IR=IC +45o VF -45o VC Figura 6. a) Determine o valor dos componentes no domínio fasorial; b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias e o teor do circuito; c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal; d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal; e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos; f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos. Figura 6. – Circuito RL série para o exemplo 6. No domínio fasorial, o resistor vale os mesmos 25Ω.

Devemos calcular o valor da reatância indutiva: X L = jωL = j2000 ⋅ 25 ⋅ 10 −3 = + j50 Ω Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 116 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS A figura 6. apresenta o diagrama fasorial completo para o circuito. Pelo diagrama fasorial, podemos observar claramente que a tensão e a corrente no resistor estão em fase e que a corrente está atrasada de 90o da tensão no indutor. a) Determine o valor dos componentes no domínio fasorial; Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 117 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias e o teor do circuito; c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal; d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal; e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos; f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.

Figura 6. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 118 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS V& C = X C ⋅ &IC = − j25 ⋅ 5,66∠ − 45 o = 25∠ − 90 o ⋅ 5,66∠ − 45 o = 141,5∠ − 135 o V Na forma trigonométrica: v C ( t ) = 141,5 ⋅ 2 ⋅ sen(2000 ⋅ t − 135 o ) V A tensão no indutor é o produto da reatância indutiva pelo fasor corrente no indutor: V& L = X L ⋅ &IL = + j25 ⋅ 5,66∠ − 45 o = 25∠ + 90 o ⋅ 5,66∠ − 45 o = 141,5∠ + 45 o Na forma trigonométrica: v C ( t ) = 141,5 ⋅ 2 ⋅ sen(2000 ⋅ t + 45 o ) V Como os fasores de tensão e corrente podemos traçar o diagrama fasorial da figura 6. No diagrama fasorial observamos claramente que a tensão e a corrente no resistor estão em fase. A corrente no indutor está atrasada de 90o da tensão. A corrente no capacitor está adiantada de 90o da tensão.

– Formas de onda de tensão e corrente para o circuito do exemplo 6. Exemplo 6. Um sinal senoidal v( t ) = 2 ⋅ 200 ⋅ sen(2000 ⋅ t ) é aplicado a um resistor ideal de 25Ω associado em série com um indutor ideal de 25mH. Considere agora a conexão de um capacitor ideal de 25μF em paralelo, como mostra a figura 6. a) Determine o valor dos componentes no domínio fasorial; b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias e o teor do circuito; c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal; d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal; e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos; f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.

R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 120 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Z' = Z R + Z L = R + X L = 25 + j50 = 55,9∠63,43 o Ω Da inspeção visual do circuito da figura 6. verificamos que esta impedância equivalente parcial Z’ está associada em paralelo com a impedância do capacitor. Assim: Z eq = X C ⋅ Z' 25∠ − 90 o ⋅ 55,9∠63,43 o 1397,5∠ − 26,57 o 1397,5∠ − 26,57 o = = = − j25 + 25 + j50 X C + Z' 25 + j25 35,36∠45 o Z eq = 39,52∠ − 71,57 o = 12,5 − j37,5 Ω Como o ângulo da impedância equivalente e a parte imaginária são negativos, concluímos que o circuito tem teor predominantemente capacitivo. O triângulo de impedâncias resultante dessa associação está apresentado na figura 6. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 121 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS V& C = 200∠0 o V v C ( t ) = 200 ⋅ 2 ⋅ sen(2000 ⋅ t ) V A tensão no resistor pode ser determinada pelo produto da resistência pela sua corrente: V& R = R ⋅ &IR = 25 ⋅ 3,58∠ − 63,43 o = 89,5∠ − 63,43 o V v R ( t ) = 89,5 ⋅ 2 ⋅ sen(2000 ⋅ t − 63,43 o ) V A tensão no indutor pode ser determinada pelo produto da reatância indutiva pela corrente no indutor: V& L = X L ⋅ &IL = 50∠90 o ⋅ 3,58∠ − 63,43 o = 179∠26,57 o V v L ( t ) = 179 ⋅ 2 ⋅ sen(2000 ⋅ t + 26,57 o ) Com os fasores de tensão e corrente podemos traçar o diagrama fasorial que está apresentado na figura 6.

Com os sinais de tensão e corrente na forma trigonométrica podemos obter as formas de onda, como estão apresentadas na figura 6. Analisando o diagrama fasorial e as formas de onda, podemos concluir que a corrente fornecida pela fonte está adiantada de 71,6o da tensão da fonte, o que caracteriza um circuito com teor capacitivo. A corrente nos terminais do capacitor está adiantada de 90o da tensão em seus terminais. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 122 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 300 250 200 Tensão (V), Corrente (x10A) 150 100 50 0 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 -50 -100 -150 -200 -250 -300 Posição Angular wt (graus) Tensão Fonte e Capacitor Corrente Fonte Corrente Capacitor Tensão Resistor Corrente Resistor e Indutor Tensão Indutor Figura 6. – Formas de onda de tensão e corrente para o circuito do exemplo 6.

Exercícios: Para os circuitos abaixo: a) Determine o valor dos componentes no domínio fasorial; b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de impedâncias e o teor do circuito; c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal; d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, nos domínios fasorial e temporal; e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos; f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos; g) Simule os circuitos em software de simulação eletrônica para verificar as formas de onda encontradas e conferir os valores calculados. Dados: v F ( t ) = 12 2 ⋅ sen(377 ⋅ t ) V ; R1=2Ω 6. Prof. A potência elétrica representa a velocidade com que se realiza um trabalho elétrico.

Do estudo de circuitos em corrente contínua, sabemos que a potência é dada pelo produto da tensão pela corrente, pois a tensão representa a quantidade de energia capaz de movimentar uma certa quantidade de cargas elétricas (V=J/C) e corrente representa o fluxo de cargas num dado intervalo de tempo (A=C/s). Portanto, o produto da tensão pela corrente representa a quantidade de trabalho (energia) realizado num dado intervalo de tempo: J C J ⋅ = =W C s s Assim para o circuito da figura 7. a potência fornecida pela fonte é dada por: P = V ⋅I (W) onde V e I são constantes. Portanto, a potência fornecida pela fonte CC ao resistor é uma constante. – Fonte de tensão alternada senoidal alimentando uma impedância Z.

Neste caso, como v(t) e i(t) não são constantes no tempo, a potência também não será constante no tempo. A potência instantânea p(t) na impedância Z do circuito da figura 7. pode ser determinada pelo produto da tensão instantânea pela corrente instantânea: p(t) = v(t) ⋅ i(t) (W) substituindo as equações de v(t) e i(t), Portanto: p(t) = Vp ⋅ sen(ω ⋅ t) ⋅ Ip ⋅ sen(ω ⋅ t − φ) p(t) = Vp ⋅ Ip ⋅ [sen(ω ⋅ t) ⋅ sen(ω ⋅ t − φ)] Considerando a identidade trigonométrica: sen α ⋅ sen β = 1 ⋅ (cos(α − β ) − cos(α + β )) 2 Substituindo os valores, obtemos: 1 ⎡1 ⎤ p(t) = Vp ⋅ Ip ⋅ ⎢ ⋅ cos(ω ⋅ t − ω ⋅ t + φ) − ⋅ cos(ω ⋅ t + ω ⋅ t − φ)⎥ 2 ⎣2 ⎦ Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 127 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS p(t) = p(t) = 1 1 ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos φ − ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ [cos(2 ⋅ ω ⋅ t) ⋅ cos(+ φ ) + sen(2 ⋅ ω ⋅ t) ⋅ sen(φ)] 2 2 1 1 1 ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos φ − ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos(2 ⋅ ω ⋅ t) ⋅ cos(φ) − ⋅ Vp ⋅ Ip sen(2 ⋅ ω ⋅ t) ⋅ sen(φ) 2 2 2 agrupando os termos, obtemos a equação geral ampliada da potência instantânea: p(t) = 1 1 ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos φ ⋅ [1 − cos(2 ⋅ ω ⋅ t)] − ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ sen φ ⋅ sen(2 ⋅ ω ⋅ t) 2 2 7.

POTÊNCIA MÉDIA OU POTÊNCIA ATIVA No estudo de fornecimento, consumo e armazenamento de energia em circuitos elétricos, geralmente utilizamos o valor médio da potência e não o valor instantâneo de potência. O valor médio da potência é dado pela integral da função no período dividido pelo período, ou seja: T Pmed = 1 ⋅ p(t) ⋅ dt T 0∫ onde T é o período da forma de onda da potência instantânea. Para uma função periódica como a função p(t) , o valor médio é igual a soma das áreas formadas entre a curva da função e o eixo horizontal do plano cartesiano, durante um ciclo completo, dividida pelo período da função. termo 1 A2 termo 2 0 -2 A3 -4 Figura 7.

– Comportamento do termo variável de p(t). p 2 (t) = − 1 ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos(2 ⋅ ω ⋅ t + φ) 2 P2 = A 3 − A T 2 como A 2 = A 3. Portanto: P2 = 0 O valor médio desse termo é zero pois a área positiva é igual à área negativa. Este termo caracteriza transferência de energia para a carga e devolução de energia pela carga à fonte, não caracterizando dissipação (consumo) de energia. i(t) v(t) Z Figura 7. – Fonte de tensão alternada senoidal aplicada a uma impedância Z. Potência no Resistor Considerando que a impedância Z no circuito da figura 7. seja somente um resistor ideal R, podemos afirmar que a corrente está em fase com a tensão. Então temos: Z=R θ V = θI Prof. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 131 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Como vimos, a equação da potência instantânea é formada por dois termos: um constante e outro variável no tempo.

Em termos gráficos, o termo constante é uma reta e o termo variável é uma curva senoidal com o dobro da freqüência ω, como mostra a figura 7. A composição de ambos os termos é a potência instantânea no resistor. termo 1 termo 22 p(t) 0 0 45 90 135 180 225 270 315 360 -2 -4 Figura 7. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 133 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS A potência instantânea num indutor é uma senoide positiva com o dobro da frequência (2ω), cujo valor de pico é dado pelo produto da tensão eficaz pela corrente eficaz no indutor, como mostra a figura 7. Tempo / Ângulo 2 v(t) i(t) p(t) 0 -90 -45 0 45 90 135 180 225 270 315 360 -2 -4 Figura 7. – curvas de tensão, corrente e potência instantâneas num indutor ideal. A figura 7. A figura 9 apresenta as curvas de tensão, corrente e potência instantâneas num indutor ideal.

Podemos concluir que em um circuito puramente indutivo ideal (sem resistência), num ciclo completo, o valor médio da potência (Potência Ativa) é zero, ou seja , em um circuito puramente indutivo , não há dissipação de energia. Isto ocorre porque na parte do ciclo onde potência é positiva a energia está sendo armazenada no campo magnético do indutor, enquanto na parte do ciclo onde a potência é negativa o campo magnético está descarregando sua energia no circuito. Esta seqüência ocorre duas vezes a cada ciclo da tensão, a fonte apenas troca energia com o indutor, não havendo dissipação de energia. A potência média ou potência ativa num indutor é dada por: PL = 1 1 ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos φ = ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos 90 o = 0 2 2 PL = 0 Isso indica que não há transformação de energia e que o indutor ideal devolve integralmente à fonte a energia que recebeu e, portanto, não há produção de trabalho elétrico.

seja um capacitor ideal (resistência do capacitor nula), podemos concluir que a corrente está adiantada de 90o da tensão. Tomando a corrente como referência, temos: Z = XC θI = 0o θ V = −90 o φ = θ V − θ I = −90 − 0 = −90 o θ V = −φ ( ) cos φ = cos − 90 o = 0 Substituindo na equação de tensão e corrente instantâneas, v(t) = Vp ⋅ sen(ω ⋅ t + θ V ) = Vp ⋅ sen(ω ⋅ t + φ) = Vp ⋅ sen(ω ⋅ t − 90 o ) i(t) = Ip ⋅ sen(ω ⋅ t + θ I ) = Ip ⋅ sen(ω ⋅ t + 0) = Ip ⋅ sen(ω ⋅ t) A potência instantânea é dada pelo produto da tensão e da corrente instantâneas no capacitor: p C (t) = v(t) ⋅ i(t) Substituindo os valores na equação geral da potência instantânea, temos: p C (t) = ( ) ( ) 1 1 ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos − 90 o − ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos(2 ⋅ ω ⋅ t + 90 o ) 2 2 mas cos 90 o = 0 , Prof.

Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 136 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS p C (t) = − ( ) 1 ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ cos(2 ⋅ ω ⋅ t + 90 o ) 2 como cos α + 90 o = + sen(α ) : p C (t) = − Como Vp = 1 ⋅ Vp ⋅ Ip ⋅ sen(2 ⋅ ω ⋅ t) 2 2 ⋅ Vef e Ip = 2 ⋅ Ief , temos: p C (t) = − 1 ⋅ 2 ⋅ Vef ⋅ 2 ⋅ Ief ⋅ sen(2 ⋅ ω ⋅ t) 2 A potência instantânea no capacitor ideal é dada por: p C (t) = + Vef ⋅ Ief ⋅ sen(2 ⋅ ω ⋅ t) A potência instantânea num capacitor é uma senoide negativa com o dobro da frequência (2ω), cujo valor de pico é dado pelo produto da tensão eficaz pela corrente eficaz no indutor, como mostra a figura 7. Potência média (Potência Ativa): Como o semiciclo positivo é igual ao semiciclo negativo, a potência absorvida no carregamento do capacitor é igual à potência devolvida no descarregamento.

O fluxo líquido de potência no capacitor ideal é zero a cada ciclo completo. Portanto: A potência média no capacitor ideal é nula pois não dissipa potência. A figura 7. apresenta as curvas de tensão, corrente e potência instantâneas num capacitor ideal. Essa quantidade de energia trocada no circuito do capacitor ideal é dada por: EnC = C ⋅ Vp2 2 2 = C ⋅ VefC Unidade: Joules (J). Potencia na Impedância de um circuito misto Considerando que a impedância Z do circuito da figura 7. seja proveniente de uma composição de elementos passivos RLC. Pelos estudos anteriores podemos concluir que a corrente estará defasada de um ângulo φ da tensão. Esse ângulo dependerá do teor da carga. Para ilustrar melhor este caso, a figura 7. apresenta os gráficos de tensão, corrente e potência instantâneas para um ângulo φ=-45o de defasagem entre tensão e corrente, o que configura um circuito misto com teor capacitivo.

Podemos perceber a existência de potência reativa e ativa também nesse caso. Numa carga mista há potência ativa e potência reativa 8 6 v(t) i(t) p(t) Tempo / Ângulo 4 2 0 -90 -45 0 45 90 135 180 225 270 315 360 -2 -4 Figura 7. – Tensão, corrente e potência instantâneas numa carga mista indutiva, φ=+45o. Só há potência reativa. Circuito Misto ( -90o ≤ φ ≤ +90o): os dois termos estão presentes. Há potência ativa e reativa. Podemos concluir, portanto: O primeiro termo da equação ampliada da potência instantânea fornece a potência média ativa e o segundo termo fornece a potência reativa de uma impedância genérica Z. POTÊNCIA APARENTE E TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS Aparentemente, a potência fornecida à carga Z do circuito da figura 7.

Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 141 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Exemplo 7. Um transformador com entrada de 220Vef e saída de 110Vef têm potência aparente nominal de 500VA. Desconsiderando as perdas, qual a máxima corrente admissível no primário e no secundário? Solução: no primário a tensão é de 220V. Para a potência de 500VA a corrente eficaz é dada por: Ief1 = S 500 = = 2,27A Vef1 220 No secundário a tensão é de 110V. Para a potência de 500VA a corrente eficaz é dada por: Ief2 = S 500 = = 4,54A Vef2 110 Potência Ativa (P) é a Potência Média e corresponde à potência efetivamente consumida (dissipada) no circuito (somente nos elementos resistivos dos circuitos). Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 143 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Potência Ativa (P) Potência Aparente (S) φ Potência Ativa (P) φ Potência Reativa Indutiva Potência Potência Aparente (S) (+QL) (a) Reativa Capacitiva (-QC) (b) Figura 7.

– Triângulo de Potências: (a) teor indutivo; (b) teor capacitivo. FATOR DE POTÊNCIA E ENERGIA O Fator de Potência FP é definido como a relação entre a potência ativa e a potência aparente: FP = P S Do triângulo de potências da figura 15, podemos concluir que a equação acima é a relação de um cateto adjacente pela hipotenusa, ou seja, é o cosseno do ângulo φ: ⎛P ⎞ FP = cos φ = ⎜ ⎟ ⎝S ⎠ Observações: • • • • O fator cosφ é, conhecido como fator de deslocamento, e somente é igual ao Fator de Potência quando o sinal é puramente senoidal. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 144 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS reativa além da demanda de energia ativa dissipada. Nestes casos a medição do consumo de energia é feito em VA (aparente) pois é uma medição mais sensível à demanda de energia reativa.

Portanto: Uma instalação elétrica é mais eficiente quanto mais próximo de 1 for o seu fator de potência. É dada pelo produto da potência aparente e o intervalo de tempo e sua unidade é o VAh ou kVAh. EnS = S ⋅ t No Brasil, atualmente, as unidades consumidoras residenciais têm apenas a energia ativa medida e tarifada. Nos consumidores industriais e comerciais de grande porte há várias classes tarifárias. Em geral, a energia ativa e a energia aparente são medidas. A energia ativa e a demanda de potência são tarifadas. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 146 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS onde: |S| - módulo da potência aparente S (VA) φ = ângulo do fator de potência (ângulo da defasagem entre tensão e corrente) No domínio fasorial, a potência aparente complexa pode ser dada pelo produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente.

V & ⋅ I& * S Obsevação: O ângulo φ da impedância é o mesmo ângulo da defasagem entre a tensão e a corrente e também é o mesmo ângulo da potência complexa. RELAÇÕES ENTRE P E Q E OS ELEMENTOS PASSIVOS R, L E C. A tabela 7. Mussoi P S CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 147 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Observações: • • A potência aparente deve ser determinada a partir das potências ativa e reativa totais e não o contrário. As potências em cada ramo independem da forma de associação (série ou paralelo) e podem ser somadas diretamente. Porém, dependem das tensões e correntes e estas da forma de associação. Exemplo 7. Uma dada carga num circuito elétrico apresenta uma corrente eficaz de 10A, atrasada 45o da tensão aplicada de v( t ) = 220 ⋅ 2 ⋅ sen(377 ⋅ t ).

Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 148 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS VF = 220∠0oV ~ Carga 1 1000Var(C) 300W Carga 2 600Var(L) 1000W Carga 3 0VAr 500W Carga 4 1500Var(L) 200W Figura 7. – cargas para o exemplo 7. Para o circuito misto da figura 7. determine: a) a impedância equivalente e ângulo de defasagem entre tensão e corrente na fonte; b) o fasor corrente fornecido pela fonte; c) a potência aparente do circuito; d) o triângulo de potências; e) a potência de cada elemento. R = 40Ω ~ & = 220∠0o V V XC = -j20Ω XL = +j50Ω Figura 7. – circuito misto para o exemplo 7. Como o circuito da figura 18 é um circuito CA série, obtemos a impedância equivalente pela soma das impedâncias de cada elemento: Z eq = Z1 + Z2 + Z3 = R + X C + X L = 40 + (− j20) + j50 = 40 + j30Ω Na forma polar o valor da impedância é: Z eq = 50∠36,87 o Ω O ângulo de defasagem φ é, portanto +36,87o, o que representa um circuito indutivo para a fonte.

Isto se deve, principalmente, ao acionamento de motores, lâmpadas fluorescentes e equipamentos eletrônicos. É inevitável, então, a solicitação de energia reativa da rede de alimentação, o que provoca um baixo fator de potência para estas cargas. Essa energia reativa, como estudamos, não realiza trabalho pois é constantemente trocada entre a carga e a fonte, provocando sobrecarga nos condutores e perdas de energia na transmissão e distribuição, além do aumento dos custos de geração. Para minimizar este problema, devemos reduzir a energia reativa absorvida da rede de alimentação através do processo conhecido por Correção do Fator de Potência. Atualmente as normas brasileiras exigem que as unidades consumidoras industriais e comerciais apresentem um fator de potência superior a 0,92, estando sujeitos a multas e sobretarifação se este fator não for atingido.

Pela análise do triângulo de potências de um circuito podemos concluir que o menor valor de potência aparente ocorre quando a potência reativa é nula (QT = 0). Nesse caso S = P, ou seja, toda a potência aparente é potência ativa. A figura 7. mostra que quanto menores os níveis de potência reativa, menores os níveis de potência aparente requeridos e, portanto, menores os níveis de corrente nos condutores que alimentam a carga. Portanto, quanto menor o ângulo φ, mais próximo da unidade (1) estará o Fator de Potência e mais resistivo será o teor do circuito (menos reativo). R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 152 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS c) a variação no nível de corrente para o sistema não compensado e compensado; Sabendo que 1CV = 736W, o motor disponibiliza em seu eixo uma potência mecânica de: Pmec = 736 ⋅ 10 = 7360W Como o rendimento do motor é 90%, significa que para disponibilizar 7360W de potência mecânica no eixo, o motor deverá absorver da rede uma potência elétrica dada por: η(%) = Peletrica = Pmec ⋅ 100 Peletrica 7360 ⋅ 100 = 8177,8W 90 O fator de potência é cosφ = 0,75.

Portanto a potência aparente pode ser dada por: P = S ⋅ cos φ P 8177,8 = = 10903,7VA cos φ 0,75 S= O ângulo φ pode ser determinado por: φ = cos −1 (0,75) = 41,41o E a potência reativa pode ser determinada por: ( ) Q = S ⋅ senφ = 10903,7 ⋅ sen 41,41o = 7212,1VAr Com os valores das potências e o ângulo podemos determinar o triângulo das potências, como mostra a figura 7. a). O fator de potência deve ser corrigido para 0,92. A corrente inicial, antes da compensação, pode ser dada por: IefT = ST 10903,7 = = 49,6A Vef 220 A corrente final, após a correção do fator de potência, pode ser dada por: IefF = SF 8888,9 = = 40,4A Vef 220 Podemos concluir que houve uma redução substancial no valor da corrente absorvida da rede elétrica, após a correção do fator de potência.

EXERCÍCIOS 7. A potência instantânea absorvida por um circuito é p(t)= 10 + 8 sen (377t + 40o) (W). Achar as potências média, mínima e máxima absorvidas. Com v(t)= 300 sen (20t + 30o) (V) aplicado, um circuito solicita uma corrente i(t)= 15 sen (20t + 25o) (A). a) Determine a potência ativa, reativa e aparente de cada carga; b) Determine o triângulo de potências e o fator de potência da instalação; (12642,8W; 4442,6Var; 13400,6VA; 0,94) c) Determine a corrente absorvida da fonte; (60,9A) Considere: 1CV = 736W VF = 220∠0oV ~ 7. Iluminação 10 x 100W Caldeira 2,5kW Motobombas 5 x 2CV FP 0,78 ind η = 85% Banco de Capacitores ZC = 5 + j7 Ω Para os circuitos abaixo, determine: a. A impedância equivalente e o triângulo de impedâncias; b. A corrente fornecidada pela fonte; c.

O triângulo de potências do circuito e o fator de potência; -j20Ω a) b) 20Ω 10Ω j5Ω 60∠30oV j30Ω -j25Ω 30∠60oV -j4Ω 5Ω c) d) j10Ω 10Ω 8Ω 6Ω 2∠45oA 7. Determine: h. O triângulo de potência desse motor; i. A corrente absorvida da rede elétrica; j. A capacitância que corrige o fator de potência para 0,96; k. A corrente absorvida da rede elétrica após a correção do fator de potência. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 156 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 8. EXERCÍCIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS 8. Um gerador de 10 pólos tem um fluxo magnético de 4x10-2Wb por pólo. O rotor gira a 720rpm. Para as formas de onda, determine: a) período T b) número de ciclos mostrados c) freqüência; d) amplitude positiva máxima e valor de pico a pico.

e) fator de forma v(t) 20 100 t(ms) 250 500 0 -20 10 20 t(μs) -100 i(mA) 50 0 5 15 t(μs) 8. Determinar o período e a freqüência angular: a) 20Hz; b) 93,7MHz; c) 720kHz; d) 0,5Hz; 8. Determinar a freqüência e a freqüência angular: a) 1/60s; b) 10ms; Prof. Fernando L. Se v=220V em α=37,5o e f=60Hz, determine a função matemática para o sinal senoidal. Esboce: a) 100sen(wt+30o); b) –20sen(wt-π/3); c) 5cos(wt+10); d) 80sen(wt+1,5π); 8. Verifique as defasagens entre os sinais senoidais: a) v(t) = 10sen(wt+0o) e i(t)=6sen(wt+30o); b) v(t) = 25sen(wt-30o) e i(t)=10sen(wt+60o); Prof. Fernando L. R. Para a forma de onda abaixo, determine: a) período; b) freqüência; c) valor médio (17,13mV) d) valor eficaz; e) esboce a forma de onda apresentada no osciloscópio se este tiver o canal vertical for chaveado de CC para CA.

Dados: escala de tempo 10μs/div e escala de tensão 10mV/div. Dados: escala de tempo 50μs/div e escala de tensão 0,2V/div. resp: Vmed = -0,3V; Vef = 367mV 8. DESAFIO! Determine o valor médio e eficaz para a curva de tensão de carga e descarga de um capacitor representada no gráfico abaixo. Assinale (V) quando a afirmativa for verdadeira e (F) quando a afirmativa for falsa. Se falsa justifique porque. Em circuitos de corrente contínua os capacitores nunca são carregados. Quando um capacitor esta sendo carregado a corrente no circuito é constante. Constante de tempo de um circuito capacitivo corresponde ao tempo que a tensão leva para atingir seu valor final. A tensão sobre o resistor num circuito RL de CC é sempre constante.

Constante de tempo de um circuito indutivo corresponde ao tempo que a tensão sobre o indutor leva para atingir seu valor final. Constante de tempo de um circuito indutivo corresponde ao tempo que a tensão sobre o indutor levaria para atingir seu valor final se variasse de forma constante. Quando abrimos um circuito indutivo a corrente decai a zero somente depois de um intervalo de tempo diferente de zero. Prof. sen(2000. t + 60o) A c) v2(t) = 400. sen(277. t) V d) i2(t) = 0,35. sen(1000. t + 60o) A 8. Seja uma fonte de tensão alternada Vf = 156∠0o V (60Hz) alimentando um circuito com um indutor ideal de 200mH determinar: a) reatância do indutor (forma retangular e polar); b) corrente na bobina (domínio do tempo e da freqüência); c) esboço dos gráficos da tensão e da corrente no indutor; d) diagrama fasorial.

Seja uma fonte de tensão alternada Vf = 10∠0o V (500Hz) alimentando um resistor em série com um indutor. Sabendo que a fonte fornece 20mA para o circuito, determine: a) a reatância indutiva e a indutância do indutor; b) a impedância total do circuito (retangular e polar); c) o diagrama fasorial; 8. Em que freqüência uma indutância de 56mH apresenta reatância de 100Ω? 8. Seja L = 500mH e C = 1000μF, determine as correntes sobre esses elementos sendo: a) v( t ) = 220 2 ⋅ sen(377 ⋅ t ) b) v( t ) = 15 ⋅ sen(100 ⋅ t + 30 o ) 8. Os sinais de tensão e corrente abaixo correspondem a um bloco de carga. Determine a defasagem entre os sinais e o tipo e valor do componente correspondente: a) v( t ) = 220 2 ⋅ sen(377 ⋅ t + 30 o ) e i( t ) = 31,1⋅ sen(377 ⋅ t − 60 o ) b) v( t ) = 100 ⋅ sen( 200 ⋅ t − 10 o ) e i( t ) = 20 ⋅ sen( 200 ⋅ t + 80 o ) c) v( t ) = 30 ⋅ sen( 200 ⋅ t + 90 o ) e i( t ) = 5 ⋅ cos( 200 ⋅ t ) 8.

Trace XL, XC e R para uma faixa de freqüências desde 0Hz até 100kHz, sendo L = 5mH; C = 125nF e R = 100Ω. a) Determine a freqüência em que XL = R e XC = R; b) Determine a freqüência em que XL = XC; c) Determine a freqüência em que XL = 2. Determine: a) as reatâncias capacitiva e indutiva; b) a impedância equivalente do circuito: Resp: 8,47-j5,32Ω c) as tensões nos terminais do resistor, do capacitor e do indutor; d) a tensão nos terminais da fonte senoidal: resp: 20∠0oV e) trace o diagrama fasorial do circuito; f) trace o triângulo de impedâncias e determine o teor do circuito. I 8. Descreva o procedimento para determinar experimentalmente a indutância de um indutor e a capacitância de capacitor quando conectados a um circuito de corrente alternada.

No circuito abaixo, para cada valor de freqüência dado, determine: a. b. Dados: Vfonte = 60 Vef / 159Hz R1 = 20Ω R2 = 60Ω L = 1H C = 1μF 8. Determinar o valor da impedância Z1 no circuito. Esta impedância pode ser considerada um resistor de aproximadamente 4Ω com um indutor em série? Porque? Dados: Vfonte = 50∠30o V IT Z1 IT = 27,9∠57,8o A R1 = 3Ω R2 = 5Ω Xc = -j4Ω 8. Para o circuito abaixo, determinar: a. b. Para o circuito abaixo, determinar: a. b. c. d. e. Impedância total do circuito (equivalente) Ângulo de defasagem entre tensão e corrente, teor do circuito e fator de potência Correntes em todos os elementos do circuito Potência total fornecida pela fonte (triângulo de potências) Some as correntes no indutor e no resistor e compare com a corrente total.

Explique. Por que a potência ativa é positiva e a reativa negativa? Dados: Vfonte = 70,71∠0o V R1 = 10Ω X1 = -j10Ω X2 = +j20Ω X3 = -j10Ω 8. Para o circuito abaixo, determinar: a. A corrente que circula no capacitor de XL = -j10Ω, sabendo que a corrente no indutor de XL = +j8Ω é de 5∠-50oA. c. d. e. f. a impedância equivalente do circuito; a corrente total no circuito; a tensão no resistor R2; a defasagem entre a tensão e a corrente, o teor do circuito e o fator de potência; o triângulo de potência na fonte; as potências reativas nos componentes. Qual a diferença? Porque? Dados: Vfonte(t) = 100. sen(20000. t) V R1 = 2Ω R2 = 1Ω R3 = 5Ω C = 5μF L = 0,3mH Prof. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 166 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 167 8.

Um indutor desconhecido deve ser analisado em laboratório para verificar suas características nominais de indutância e resistência. μF, 5,88Aef, 2kVA 8. Uma carga indutiva formada por um sistema de iluminação fluorescente com reatores eletromagnéticos utiliza um banco de capacitores para correção do fator de potência. De acordo com as novas regras do Sistema Elétrico, o fator de potência deverá ser superior a 0,92. Indique o valor do capacitor que deverá ser conectado e como, para que a solução seja técnica e economicamente viável. Dados: Alimentação: 220Vef / 60Hz Carga de Iluminação: 20Ω e 53mH Capacitância Equivalente do Banco: 177μF 8. If the supply is 1000V at 60Hz, determine the capacitive element required to raise the power factor to 0. Compare the levels of current drawn from the supply.

Resp. μF; 25. A 8. d) Calculate the capacitance necessary to establish a unity power factor. e) Find the current drawn from the supply at unity power factor, and compare it to the uncompensated level. Resp. kVA; 0. lagging); 65. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 168 169 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 8. TRABALHO: Obtenha todos os parâmetros o v 1( t ) = 220 2 ⋅ sen(377 t + 120 ) ; possíveis das formas de onda: o v 2( t ) = 220 2 ⋅ sen(377 t − 120 ) e v 3 ( t ) = 220 2 ⋅ sen(377 t ). a) traçar o diagrama fasorial com os três sinais; b) fazer v12(t)=v1(t)-v2(t); v23(t)=v2(t)-v3(t) e v31(t)=v3(t)-v1(t) graficamente no diagrama fasorial e matematicamente através da álgebra fasorial; c) traçar os fasores resultantes no diagrama do item (a); d) traçar as três formas de onda e fazer as subtrações ponto a ponto, usando um programa de computador.

Mostrar as seis formas de onda num mesmo gráfico. TRABALHO: Traçar as formas de onda no computador e obter a somatória dos sinais: Dados: v1(t) = 100sen(ωt); v3(t) = 33sen(3ωt); v5(t) = 20sen(5ωt); v7(t) = 14sen(7ωt); v9(t) = 11sen(9ωt); v11(t) = 9sen(11ωt); f=60Hz e 1kHz 8. J. Eletricidade – princípios e aplicações. Vol. São Paulo: Makron Books, 1992. ALBUQUERQUE, R. GIANCOLI, D. C. Physics for scientists and engineers. ed. USA: Prentice Hall, 2000. DERIVADA O conceito de derivada é importante para o entendimento do comportamento da resposta senoidal dos elementos passivos. A derivada dx/dt é definida como a taxa de variação de x com relação ao tempo t. Se x não varia num determinado instante de tempo t, dx=0 e a derivada é zero.

Para a onda senoidal dx/dt é zero somente nos picos positivo e negativo, quando wt=π/2 e wt=3π/2, pois x não varia nesses instantes, como mostra a figura A. x +xmax • dx =0 dt dx = max dt 0o 0π • • 90o 180o π/2 1π -xmax ωt(o, rad) 270o 3π/2 • dx =0 dt • 360o 2π Função Senoidal Figura A. O valor de pico da onda cossenoidal da figura A. está diretamente relacionado com a freqüência da onda senoidal original. Quanto maior a freqüência, maior a inclinação da curva com relação ao eixo horizontal (tempo) e, portanto, maior o valor da derivada dx/dt, como mostra a figura A. Podemos observar que, para um mesmo valor de pico xmáx da função senoidal, a maior freqüência produz um pico maior para a derivada.

A derivada de uma função senoidal tem o mesmo período e freqüência que a função original. Se quisermos encontrar o ângulo de defasagem num dado circuito, como indica a figura A. devemos adicionar um resistor em série e utilizar um osciloscópio de duplo traço (2 canais). Esse resistor série, chamado Resistor Sensor (ou Shunt) deve ter resistência conhecida e de baixo valor para não afetar as características do circuito. iZ ~ ~ Z + vZ Z Ch1 Ch2 GND iZ Rsensor (a) (b) - vR + Figura A. – (a) circuito para medição da defasagem; (b) ligação do resistor sensor e do osciloscópio. USA: Prentice Hall, 2003. Prof. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 176 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 177 A. SÉRIES DE FOURIER [incluir complementação] Teorema de Fourier Um sinal periódico qualquer é composto de (ou pode ser decomposto em) uma série de ondas senoidais, com freqüências múltiplas inteiras da fundamental f1, cada uma com uma determinada amplitude e uma determinada fase, mais uma componente continua (de freqüência zero).

As ondas senoidais múltiplas inteiras n da fundamental são chamadas harmônicos de ordem n. mostra um exemplo de como é formada uma onda complexa (no caso uma onda quadrada simétrica) e o seu respectivo espectro de componentes harmônicos. A forma de onda resultante (em amarelo) é o somatório a todo instante dos componentes harmônicos(em azul). Prof. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 177 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 178 Figura A. – Espectro de harmônicos de uma forma de onda quadrada simétrica. Para entender melhor a diferença, ou mais precisamente, a relação entre forma de onda e espectro, a figura A. mostra isto de forma tridimensional (em perspectiva para ser mais exato) para a onda quadrada da figura a. Prof. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 178 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 179 Figura A.

– Representação tridimensional do espectro de uma onda Os três eixos da figura A. mostra um exemplo de espectrograma de uma onda quadrada junto com a escala de cores para representar amplitudes relativas (feito com o Spectrogram): Figura A. – Espectrograma de uma forma de onda. Prof. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 179 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 180 Observe a componente de maior amplitude (fundamental) em 1000 Hz com cor vermelha. O harmônico 9, em 9000 Hz é bem mais fraco, de cor azul claro. Prof. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 180 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 181 Figura A. – Espectro de freqüências para a voz feminina. Os espectros e o espectrograma acima foram feitos com o CoolEdit. Prof. Prof. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 182 183 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS A.

Exercícios Propostos: A. Para o circuito abaixo, determinar o valor do capacitor para que ocorra a máxima transferência de potência: 10 Ω 5 mH 10 Ω v(t) f=100Hz C Fonte Carga A. Para o circuito abaixo determinar: a) O valor da impedância ZL, que absorverá a máxima potência da fonte; b) O valor da potência máxima. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 185 186 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Múltiplos Métricos: Prefixo Símbolos Matemáticos: Símbolo Valor Exa E 1018 ∝ é proporcional a Peta P 1015 = é igual a Tera T 1012 ≈ é aproximadamente igual a Giga G 109 ≠ não é igual a (diferente de) Mega M 106 > é maior que Kilo k 103 >> é muito maior que Hecto h 102 < é menor que Deka da 101 << é muito menor que Deci d 10-1 ≥ é maior ou igual a Centi c 10-2 ≤ é menor ou igual a Mili m 10-3 Σ soma de (somatória) Micro μ 10-6 x valor médio de x Nano n 10-9 Δx variação em x Pico p 10-12 Femto f -15 10 Δx→ 0 Atto a 10-18 Prof.

Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo ⊥ Δx tende a zero é perpendicular a 186 187 SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS Conversões e Equivalências de Unidades: Matemáticas: 1kWh = 3,6x106J = 860kcal Volume: 1 litro (L) = 1000cm3 2 = 1,4142136 1 galão americano = 3,78L 3 = 1,7320508 Potência: 1W = 1J/s = 3,42BTU/h 1rad = 57,2957795o Velocidade: 1o = 0,01745rad 1rpm = 0,1047rad/s Comprimento: 1 polegada (in) = 2,54cm 1 pé (ft) = 30,5cm 1 milha (mi) = 1,61km 1km/h = 0,278m/s Pressão: 1mi/h = 1,609km/h 1atm = 1,013x105N/m2 1m/s = 3,60km/h 1Pa = 1N/m2 1lb/m2 = 6,9x103N/m2 Força: 1 libra (lb) = 4,45N o 1 ângstron ( A ) = 1x10-10m 15 1 ano-luz = 9,46x10 m Energia: 1kcal = 3,97BTU 4,18x103J = 1CV = 1,602x10-19J Prof. Fernando Luiz Mussoi Fundamentos de Eletromagnetismo 187.