Os Três problemas clássicos da Geometria Grega [Saiba Mais]

A duplicação do cubo. A solução de Platão. A trissecção do ângulo. A trissecção do ângulo por Arquimedes. A quadratura do círculo. O problema da duplicação do cubo, consiste em construir o lado de um cubo cujo volume é o dobro de outro cubo. O problema da trissecção do ângulo consiste em dividir um ângulo qualquer em três partes iguais. Por último, o problema da quadratura do círculo, consiste em construir um quadrado com área igual a de um círculo dado. Sabese que as tentativas de solução ocorreram até o século XIX, elas se perpetuaram por mais de 2000 anos, porém, em 1837 foi provado a impossibilidade da solução. Os gregos mesmo sem obter êxito na resolução com as ferramentas euclidianas, acharam outras soluções com outros tipos de instrumentos.

Quando 𝑏 = 2𝑎 𝑎 , observa-se que 𝑥 2 = 𝑎𝑦 e 2𝑎2 = 𝑥𝑦, multiplicando a primeira equação por 𝑥 e a segunda por 𝑎, vemos que de fato 𝑥 3 = 2𝑎³, o que demonstra que a razão entre os cubos de arestas 𝑎 e 𝑥 é de 1 para 2, pois 𝑎3 𝑎. 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑎 2 Iremos abordar uma das soluções do problema baseadas nas meias proporcionais de duas grandezas, a qual foi desenvolvida por Platão. A solução de Platão O filósofo grego Platão (viveu por volta de 400 a. C) era um admirador da matemática, a solução proposta por ele ficou conhecida como a máquina de Platão, a construção a seguir não pode ser realizada somente usando os instrumentos euclidianos, já que sabemos que o cubo não pode ser duplicado apenas com esses instrumentos. A máquina de Platão (figura 1), é formada por partes rígidas, onde 𝐴𝐶𝐷𝐹 possui essa característica, com 𝐴𝐶 e 𝐹𝐷 paralelas e 𝐶𝐷 perpendicular a ambos.

Com o progresso da matemática, a descoberta das cônicas fez com o que o problema da trissecção do ângulo fosse reduzido ao que se conhece hoje como construção de neusis. Nesse tipo de construção, segundo Heath (1953), deve-se ajustar um segmento dado entre duas curvas dadas, de tal forma que o segmento passe por um ponto dado. A construção foi abordada por Arquimedes que utilizou uma régua graduada como instrumento de desenho, veremos abaixo o exemplo de uma construção neusis realizada por Arquimedes. A trissecção do ângulo por Arquimedes Seja 𝐴𝑂̂ 𝐵 um ângulo a ser trissectado (figura 2). Figura 2: Trissecção do ângulo por Arquimedes Fonte: Autoria própria (2018) 6 Para realizar a trissecção desse ângulo, trace uma circunferência de centro 𝑂 ̅̅̅̅. É notável que construir um quadrado exatamente com a mesma área de um círculo é impossível devido ao 𝜋.

Com os avanços matemáticos, o problema da quadratura do círculo foi considerado resolvido utilizando a quadratriz, que foi inventada por Hípias de Elis, surgiu junto as tentativas para trissectar o ângulo, mas a história fala que foi 7 Dinostrato (viveu em torno de 350 a. C. quem usou esta curva para fazer a quadratura do círculo. A quadratriz Para construir a quadratriz, tomemos um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, imagine que o lado 𝐴𝐵 gira em um movimento circular uniforme em torno de 𝐴 até que coincide com o lado 𝐴𝐷. pt/bitstream/10216/10387/3/3565_TM_01_P. pdf, 2001, pp 20-23]. Considerações Finais Os problemas clássicos da geometria grega são realmente curiosos e impressionantes, como vimos, na Grécia Antiga não havia instrumentos adequados para resolver esses problemas e que os recursos e as condições dos pesquisadores eram escassos, apesar disso, com as tentativas de resolver esses problemas surgiram novos conceitos matemáticos que contribuíram para o estudo das construções geométricas.

Durante milhares de anos os matemáticos tentaram resolver o problema somente com os instrumentos euclidianos, porém, há indícios que não era bem assim. O matemático van der Waerden diz que: A ideia por vezes expressa de que os gregos permitiam somente construções com régua e compasso é inadmissível. PINTO, L. P. Os Problemas Clássicos da Grécia Antiga. Universidade Estadual Paulista, 2015. OLIVEIRA, A. van der WAERDEN, B. L. Science Awakening I. Third edition. Gronigen: Wolters Noordhoff.