APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NA EQUAÇÃO DO CALOR: COMPARAÇÃO ENTRE A CONDIÇÃO DE CONTORNO DE DIRICHLET E NEUMANN

Tipo de documento:Relatório

Área de estudo:Engenharias

Documento 1

Mesmo esses métodos são limitados por restrições como geometria regular, linearidade da equação, coeficientes constantes e outros. A imposição dessas restrições restringe severamente a gama de aplicabilidade de técnicas analíticas para resolver EDPs, tornando-as quase irrelevantes para problemas de interesse prático. Na realização deste fato, matemáticos e engenheiros têm se esforçado para desenvolver métodos numéricos para solucionar EDP. O Método das Diferenças Finitas (MDF) é baseado no cálculo de diferenças finitas. É um método relativamente simples no qual a EDP governante é satisfeita em um conjunto de pontos interconectados prescritos dentro do domínio computacional, referido como nós. E fazendo a seguintes equivalências para expressar a expressão das diferenças finitas como: , discretiza-se os termos Eq (2): Método de Euler – Série de Taylor de primeira ordem para o tempo: (3) Métodos das Diferenças Centrais para o domínio espacial, (4) Agora rearranjando da Eqs.

e 4 na Eq. tem-se que, (5) em que vale: (6) onde, indica a solução para a temperatura no próximo passo temporal. Finalmente, as condições de contorno são implementadas para as do tipo de Dirichlet a Neumann, que são: Para as condições de Dirichlet: (7) Para as condições de contorno de Neumann: (8) Quando se aplica as condições de contorno de Neumann, a solução numérica, passa a ser reescrita da seguinte forma, uma abordagem similar é dada para pelo Método de Crank-Nicholson. que da forma, matricial, fica escrita na forma matricial como: (9) Com explicitado na introdução, o MDF é uma técnica numérica que realiza uma aproximação das derivadas parciais aplicando a séries de Taylor de primeira ordem. – Problema 1 Para a solução do problema foram adotados os seguintes parâmetros de entrada e já contabilizas das referidas condições inicias e de contorno Comprimento longitudinal da barra: ; Intervalo de tempo da solução: ; Número de nós : ; Número de nós : ; Condutividade térmica:.

A solução analítica foi retirada de Iori (2015, p. e sua expressão é, A solução numérica foi dividida em etapas para a melhor avaliação. Na Figura 1, mostra-se a condição inicial. Figura 1 – Condição inicial e distribuição final da temperatura Na Figura 1 nota-se que após o tempo de simulação e com as condições inicias de contorno verifica-se que a temperatura tendeu a diminuir. Quando avalia o problema 2, conforme mostrou a Figura 3, notou-se que as condições iniciais e de contorno (Neumann) foram correspondidas na solução numérica. Na Figura 5, mostra-se o comportamento da mesma EDP, no caso a Eq. quando são aplicadas diferentes condições de contorno e iniciais. A solução para o problema 2 é mais complexa pois requer no MDF adicionar um termo na forma matricial, para poder resolver de forma adequada o problema.

Figura 5 – Comparação da distribuição da temperatura. dx = L/(n+1. espaçamento entre os nós dt = T/m; s = alpha*dt/(dx^2); % Constante de CFL - Courant–Friedrichs–Lewy % Pré condicionamento das variáveis Adiag = (1-2*s)*ones(n,1); Asubs = s*ones(n,1); Asuper = s*ones(n,1); A = spdiags([Asubs,Adiag,Asuper],[-1 0 1],n,n); % Matriz a da Eq. Definição das condições de contorno e inicial % Condição de contorno de Neumann em x = a: A(n,n) = 1-s; b= zeros(n,1); % Condição de contorno de Dirichlet em t x=0: b[1] = s*g1(t_k) % U(x=0, t) = 1. b(1) = s*1. Condição de contorno de Neumann em x = a: b[n] = s*dx*g2(t_k) % U_x(x=a,t) = 2.

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